The Law of Multiplication of Large Random Matrices Revisited
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag19.01.191Анотація
У статтi розглядається розподiл власних значень добутку двох n×n додатно визначених матриць $B_\tau, \ \tau=\pm 1$, якi “повертаються” одна вiдносно одної випадковою ортогональною матрицею, що має мiру Хаара ортогональної групи як її розподiл ймовiрностi. Задача розглядалася в кiлькох роботах з використанням рiзних методiв. Ми пропонуємо спрощений пiдхiд, оснований на технiцi теорiї випадкових матриць i певнiй симетрiї задачi. Ми доводимо, що нормована мiра розподiлу власних значень добутку прямує до невипадкової граничної мiри коли порядок матрицi прямує до нескiнченностi, одержуємо функцiональнi рiвняння, що однозначно визначають перетворення Стiлтьєса граничної мiри, через граничнi мiри множникiв $B_\tau, \ \tau=\pm 1$, та розглядаємо цiкавий приклад.
Mathematical Subject Classification 2020: 15B52, 34L20, 60B20
Ключові слова:
випадковi матрицi, ортогональнi матрицi, розподiл власних значеньПосилання
N.I. Akhiezer, The Classical Moment Problem, Oliver and Boyd, London, 1965.
R. Bhatia, Matrix analysis, Springer, New York, 1997. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0653-8
B. Collins, Product of random projections, Jacobi ensembles and universality problems arising from free probability, Probab. Theory Related Fields, 133 (2005), 315-344. https://doi.org/10.1007/s00440-005-0428-5
B. Collins and T. Hayase, Asymptotic Freeness of Layerwise Jacobians Caused by Invariance of Multilayer Perceptron: The Haar Orthogonal Case, Commun. Math. Phys. 397 (2023) 89--109. https://doi.org/10.1007/s00220-022-04441-7
R. Couillet and W. Hachem, Analysis of the limiting spectral measure of large random matrices of the separable covariance type, Random Matrices Theory Appl. 3 (2014), 1450016. https://doi.org/10.1142/S2010326314500166
B. Farrell, Limiting empirical singular value distribution of restrictions of discrete Fourier transform matrices, J. Fourier Anal. Appl. 17 (2011), 733--753. https://doi.org/10.1007/s00041-010-9156-z
V.A. Marchenko and L.A. Pastur, The eigenvalue distribution in some ensembles of random matrices, Math. USSR Sbornik 1 (1967), 457--483. https://doi.org/10.1070/SM1967v001n04ABEH001994
E. Meckes, The Random Matrix Theory of the Classical Compact Groups, Cambridge University Press, Cambridge, 2019. https://doi.org/10.1017/9781108303453
J.A. Mingo and R. Speicher, Free Probability and Random Matrices, Springer, Heidelberg, 2017. https://doi.org/10.1007/978-1-4939-6942-5
Y.A. Neretin, Lectures on Gaussian Integral Operators and Classical Groups, EMS, Zurich, 2011. https://doi.org/10.4171/080
L. Pastur, On random matrices arising in deep neural networks: Gaussian case, Pure and Appl. Funct. Anal. 6 (2020), 1395--1424.
L. Pastur, On random matrices arising in deep neural networks: orthogonal case, J. Math. Phys. 63 (2022), 063505. https://doi.org/10.1063/5.0085204
L. Pastur, Finite size effects for the entanglement entropy of free fermions, in preparation.
L. Pastur and V. Slavin, On random matrices arising in deep neural networks: general i.i.d. case, Random Matrices Theory Appl. 12 (2023), No. 01, 2250046. https://doi.org/10.1142/S2010326322500460
L. Pastur and M. Shcherbina, Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011. https://doi.org/10.1090/surv/171
L. Pastur and V.Vasilchuk, On the law of addition of random matrices, Commun. Math. Phys. 214 (2001), 249--286. https://doi.org/10.1007/s002200000264
J. Pennington, S. Schoenholz, and S. Ganguli, The emergence of spectral universality in deep networks, Proceedings of Machine Learning Research, 84, Proceedings of the Twenty-First International Conference on Artificial Intelligence and Statistics (Eds. A. Storkey and F. Perez-Cruz), PMLR, 2018, 1924--1932. Available from: http://proceedings.mlr.press/v84/pennington18a/pennington18a.pdf
V. Vasilchuk, On the law of multiplication of random matrices, Math. Phys. Anal. Geom. 4 (2001), 1--36.
