Quasiconformal Extensions and Inner Radius of Univalence by pre-Schwarzian Derivatives of Analytic and Harmonic Mappings
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag19.04.781Анотація
У роботі ми вивчаємо критерій унівалентності квазіконформних продовжень і внутрішній радіус унівалентності для локально унівалентних аналітичних і гармонічних відображень. Для локально унівалентних аналітичних функцій на одиничному диску ми надаємо достатні умови унівалентності і квазіконформні продовження відносно перед-шварцових похідних, які узагальнюють результат Беккера. Для сильно спіралеподібних областей ми розглядаємо квазіконформне продовження і одержуємо нижні оцінки внутрішніх радіусів унівалентності відносно перед-шварцових і шварцових похідних. Крім того, для гармонічних відображень в однозв'язній області $\Omega$, ми доводимо, що $\Omega$ є квазідиском в тому і лише тому випадку, коли внутрішній радіус унівалентності області $\Omega$ відносно перед-шварцових похідних гармонічного відображення є додатним та одержуємо загальну достатню умову унівалентності і квазіконформні продовження.
Mathematical Subject Classification 2020: 30C62, 30C45, 30C55, 31A05
Ключові слова:
квазіконформне продовження, квазідиск, внутрішній радіус унівалентності, сильно спіралеподібна функція, гармонічне відображенняПосилання
L. Ahlfors, Quasiconformal reflections, Acta Math. 109 (1963), 291--301. https://doi.org/10.1007/BF02391816
K. Astala and F. Gehring, Injectivity, the BMO norm and the universal Teichmüller space, J. d'Analyse Math. 46 (1986), 16--57. https://doi.org/10.1007/BF02796572
J. Becker, Lownersche differentialgleichung und quasikonform fortsetzbare schlichet functionen, J. Reine Angew. Math. 255 (1972), 23--43. https://doi.org/10.1515/crll.1972.255.23
S. Chen and S. Ponnusamy, John disks and K-quasiconformal harmonic mappings, J. Geom. Anal. 27 (2017), 1468--1488. https://doi.org/10.1007/s12220-016-9727-6
T. Cheng and J. Chen, On the inner radius of univalency by pre-Schwarzian derivative, Sci. China Math. 50 (2007), 987--996. https://doi.org/10.1007/s11425-007-0049-9
P. Duren, Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Univ. Press, 2004. https://doi.org/10.1017/CBO9780511546600
I. Efraimidis, Criteria for univalence and quasiconformal extension for harmonic mappings on plane domain, Ann. Fenn. Math. 46 (2021), 1123--1134. https://doi.org/10.5186/aasfm.2021.4669
M. Fait, J. Krzyż, and J. Zygmunt, Explicit quasiconformal extensions for some classes of univalent functions, Comment. Math. Helv. 51 (1976), 279--285. https://doi.org/10.1007/BF02568157
F. Gehring, Univalent functions and the Schwarzian derivative, Comment. Math. Helv. 52 (1977), 561--572. https://doi.org/10.1007/BF02567390
A. Golberg, R. Salimov, and E. Sevost'yanov, Singularities of discrete open mappings with controlled p-module, J. Anal. Math. 127 (2015), 303--328. https://doi.org/10.1007/s11854-015-0032-2
I. Hotta, Explicit quasiconformal extensions and Löwner chains, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 85 (2009), 108--111. https://doi.org/10.3792/pjaa.85.108
I. Hotta, Loewner theory for quasiconformal extensions: old and new, Interdiscip. Inform. Sci. 25 (2019), 1--21. https://doi.org/10.4036/iis.2019.A.01
R. Hernández and M. Martín, Stable geometric properties of analytic and harmonic functions, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 155 (2013), 343--359. https://doi.org/10.1017/S0305004113000340
R. Hernández and M. Martín, Quasiconformal extensions of harmonic mappings in the plane, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 38 (2013), 617--630. https://doi.org/10.5186/aasfm.2013.3824
R. Hernández and M. Martín, Pre-Schwarzian and Schwarzian derivatives of harmonic mappings, J. Geom. Anal. 25 (2015), 64--91. https://doi.org/10.1007/s12220-013-9413-x
Z. Hu and J. Fan, Criteria for univalency and quasiconformal extension for harmonic mappings, Kodai Math. J. 44 (2021), 273--289. https://doi.org/10.2996/kmj44203
O. Lehto, Univalent Functions and Teichmüller Space, Graduate Texts in Mathematics, 109, Springer-Verlag, New York, 1987. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8652-0
O. Letho and K. Virtanen, Quasiconformal Mappings in the Plane, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1973. https://doi.org/10.1007/978-3-642-65513-5
H. Lewy, On the non-vanishing of the Jacbian in certain one-to-one mappings, Bull. Amer. Math. Soc. 429 (1936), 689--692. https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1936-06397-4
O. Martio and J. Sarvas, Injectivity theorems in plane and space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 4 (1978/79), 383--401. https://doi.org/10.5186/aasfm.1978-79.0413
C. Pommerenke, Univalent Functions, Vandenhoeck Ruprecht, Göttingen, 1975.
V. Ryazanov and S. Volkov, On the boundary behavior of mappings in the class $W^{1,1}_{loc}$ on Riemann surfaces, Complex Anal. Operator Theory, 11 (2017), 1503--1520. https://doi.org/10.1007/s11785-016-0618-4
E. Sevost'yanov, On the boundary behavior of open discrete mappings with unbounded characteristic, Ukrainian Math. J. 64 (2012), 979--984. https://doi.org/10.1007/s11253-012-0693-2
E. Sevost'yanov, S. Skvortsov, and O. Dovhopiatyi, On nonhomeomorphic mappings with the inverse Poletsky inequality, J. Math. Sci. 252 (2021), 541--557. https://doi.org/10.1007/s10958-020-05179-0
Y. Shen, Counterexamples concerning quasiconformal extensions of strongly starlike functions, Acta Math. Sinica Eng. Ser. 23 (2007), 1859--1868. https://doi.org/10.1007/s10114-007-0954-4
E. Smolovaya, Boundary behavior of ring $Q$-homeomorphisms in metric spaces, Ukrainian Math. J. 62 (2010), 785--793. https://doi.org/10.1007/s11253-010-0388-5
T. Sugawa, Inner radius of univalence for a strongly starlike domain, Monatsh. Math. 139 (2003), 61--68. https://doi.org/10.1007/s00605-002-0541-9
T. Sugawa, Quasiconformal extension of strongly spirallike functions, Comput. Methods Funct. Theory 12 (2012), 19--30. https://doi.org/10.1007/BF03321810
T. Sugawa, A remark on the Ahlfors-Lehto univalence criterion, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 27 (2002), 151--161.
T. Sugawa, On the norm of pre-Schwarzian derivatives of strongly starlike functions, Ann. Univ. Marie Curie-Sklodowska, Section A, 52 (1998), 149--157.
