Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring
Анотація
Нехай $K$ є довільною комутативною областю цілісності з одиницею. Досліджуються кополіноми $n$ змінних, тобто $K$-лінійні відображення з кільця поліномів $K[x_1,\ldots,x_n]$ у кільце $K$. Доводиться теорема існування та єдиності розв'язку для лінійного диференціального рівняння нескінченного порядку, яку можна розглядати як алгебраїчну версію класичної теореми Мальгранжа-Еренпрайса існування фундаментального розв'язку лінійного диференціального оператора зi сталими коефіцієнтами. Знайдено фундаментальні розв'язки лінійних диференціальних операторів нескінченного порядку та показано, що єдиний розв'язок відповідного неоднорідного рівняння може бути поданий як згортка фундаментального розв'язку цього оператора та правої частини. Також доведено теорему існування та єдиності розв'язку задачі Коші для деяких лінійних диференціальних рівнянь у модулі формальних степеневих рядів із кополіноміальними коефіцієнтами.
Mathematical Subject Classification 2020: 35R50, 34A35, 13B25
Ключові слова:
кополіном, фундаментальний розв’язок, згортка, δ-функція, диференціальний оператор нескінченного порядку, задача Коші, перетворення ЛапласаПосилання
N. Bourbaki, Elements de Mathematique. Premiere Partie: Les Structures Fondamentales de l'Analyse. Livre II: Algebre. Chap. II, Hermann, Paris, 1962.
Yu. A. Dubinskii, Cauchy Problem in a Complex Domain, Moscow Energ. Inst. Press, Moscow, 1996 (Russian).
R. Estrada and R.P. Kanwal, A distributional approach to asymptotics theory and applications, Birkhäuser, 2002. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8130-2
I. Frenkel, J. Lepovsky, and A. Meurman, Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York, 1988.
S.L. Gefter, Differential operators of infinite order in the space of formal Laurent series and in the ring of power series with integer coefficients, J. Math. Sci. 239 (2019), No. 3, 282--291 . https://doi.org/10.1007/s10958-019-04304-y
S.L. Gefter and A.L. Piven', Linear partial differential equations in module of formal generalized functions over commutative ring, J. Math. Sci., 257 (2021), No.5, 579--596. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05505-0
S.L. Gefter and A.L. Piven', Implicit linear differential-difference equations in the module of formal generalized functions over a commutative ring, J. Math. Sci., 255 (2021), No. 4, 409--422. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05381-8
S.L. Gefter and T.E. Stulova, Fundamental solution of the simplest implicit linear differential equation in a vector space, J. Math. Sci., 207 (2015), No.2, 166--175. https://doi.org/10.1007/s10958-015-2363-z
S. Gefter and A. Vershynina, On analytic solutions of the heat equation with an operator coefficient, J. Math. Sci., 156 (2009), No.5, 799--812. https://doi.org/10.1007/s10958-009-9290-9
V.V. Gorodetskii and R. S. Kolisnyk, Cauchy problem for evolution equations with an infinite-order differential operator. I, Differ. Equ. 43 (2007), No. 8, 1111--1122. https://doi.org/10.1134/S0012266107080095
V. V. Gorodetskii and R. S. Kolisnyk, Cauchy problem for evolution equations with an infinite-order differential operator. II, Differ. Equ. 43 (2007), No. 9, 1181--1193. https://doi.org/10.1134/S0012266107090017
H. Grauert and R. Remmert, Analytische Stellenalgebren, Springer, Berlin, 1971. https://doi.org/10.1007/978-3-642-65033-8
S.L. Hefter and A.B. Goncharuk, Linear differential equation with inhomogeneity in the form of a formal power series over a ring with non-Archimedean valuation. Ukr. Math. J. 74 (2023), No. 11, 1668--1685. https://doi.org/10.1007/s11253-023-02163-0
S.L. Hefter and O.L. Piven', Infinite-order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series. Ukr. Math. J. 74 (2022), No. 6, 896--915. https://doi.org/10.1007/s11253-022-02116-z
L.G. Hernández and R. Estrada, Solutions of ordinary differential equations by series of delta functions, J. Math. Anal. Appls. 191 (1995), 40--55. https://doi.org/10.1016/S0022-247X(85)71119-5
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Equations. 1. Distribution Theory and Fourier Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1983.
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators II. Differential Operators with Constant Coefficients, Springer-Verlag, Berlin, 1983.
V.G. Kac, Vertex Algebras for Beginners, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998. https://doi.org/10.1090/ulect/010
A.S. Krivosheev and V.V. Napalkov, Complex analysis and convolution operators, Russian Mathematical Surveys, 47 (1992), No. 6, 1--56. https://doi.org/10.1070/RM1992v047n06ABEH000954
V.L. Kurakin, Hopf algebras of linear recurring sequences over rings and modules, J. Math. Sci. 128 (2005), No. 6, 3402--3427. https://doi.org/10.1007/s10958-005-0279-8
R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press, 1996. https://doi.org/10.1017/CBO9780511525926
M. Morimoto, An Introductions to Sato's Hyperfunctions, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993.
S. Steinberg and F. Treves, Pseudo-Fokker-Planck equations and hyperdifferential operators, J. Differential Equations 8 (1970), 333--366. https://doi.org/10.1016/0022-0396(70)90010-0
S. Steinberg, The Cauchy problem for differential equations of infinite order, J. Differential Equations 9 (1971), 591--607. https://doi.org/10.1016/0022-0396(71)90026-X
V.A. Tkachenko, Spectral theory in spaces of analytic functionals for operators generated by multiplication by the independent variable, Mathematics of the USSR-Sbornik, 40 (1981), No. 3, 387--427. https://doi.org/10.1070/SM1981v040n03ABEH001833
R.G. Underwood, Fundamentals of Hoph Algebras, Springer, Universitext, 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-319-18991-8
