A Nonlinear PDE with Two Hardy–Sobolev Critical Exponents with One-Dimensional Singularity

Анотація

Для $N\geq 4$ нехай $\Omega$ є обмеженою областю в $\mathbb{R}^N$, а $\Gamma$ є замкненою кривою, що міститься в $\Omega$. Ми досліджуємо існування додатних розв'язків $u \in H^1_0\left(\Omega\right)$ рівняння
\begin{equation*}
-\Delta u+hu=\lambda\rho^{-s_1}\Gamma u^{2^*{s_1}-1}+\rho^{-s_2}\Gamma u^{2^*{s_2}-1} \quad \textrm{ в } \Omega, \tag{1}
\end{equation*}
де $h : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ є неперервною функцією, $\lambda$ є додатним дійсним параметром, $0\leq s_2<s_1<2$, а $\rho_\Gamma$ є функцією відстані до $\Gamma$. У цій роботі ми доводимо існування розв'язків типу гірського переходу (mountain pass solutions) для рівняння Ейлера-Лагранжа (1) залежно від локальної геометрії кривої та потенціалу $h$. Ми також вивчаємо існування, симетрію та оцінки спадання глобальних додатних розв'язків (1) при $\Omega=\mathbb{R}^N$, де $\Gamma$ є прямою.

Mathematical Subject Classification 2020: 35J60, 35B33, 35A15, 35R45, 35B40