The Initial-Boundary Value Problem for the General Matrix NLS Equation on a Finite Interval via Fokas Method
Анотація
У цій роботі ми аналізуємо початково-крайову задачу для інтегровного загального матричного нелінійного рівняння Шредінгера (НРШ) з пари Лакса розміром $4\times 4$ на скінченному інтервалі, використовуючи оригінальний єдиний метод перетворення Фокаса. Узагальнення включають дефокусуючу матричну систему НРШ, фокусуючу матричну систему НРШ та дві матричні системи НРШ зі змішаними знаками, які менше досліджені в літературі. Ми розглядаємо відповідні рівняння пари Лакса у вигляді $4\times 4$ матриць як проблеми з блочними матрицями розміром $2\times 2$, виконуючи спектральний аналіз обох компонент пари Лакса одночасно. Аналізуючи алгебраїчний зв'язок між спектральними функціями, пов'язаними з відповідним чином нормованими розв'язками рівнянь Лакса, ми виводимо ``глобальне співвідношення''. Це співвідношення є вирішальним для характеристики невідомих крайових значень через задані дані. Такий підхід дозволяє систематично досліджувати нелініаризовані крайові умови та характеризувати відображення між крайовими значеннями Діріхле та Неймана. Також доведено, що коли довжина інтервалу $L$ прямує до нескінченності, формула розв'язку початково-крайової задачі на скінченному інтервалі зводиться до формули на напівпрямій.
Mathematical Subject Classification 2020: 35Q51, 35G61
Ключові слова:
загальне матричне нелінійне рівняння Шредінгера, початково-крайова задача, нелокальне нелінійне рівняння Шредінгера, задача Рімана-Гільберта, асимптотика за великим часом, нелінійний метод перевалу, глобальне співвідношення, метод ФокасаПосилання
M.J. Ablowitz, B. Prinari, and A.D. Trubatch, Discrete and Continuous Nonlinear Schrödinger Systems, Cambridge University Press, 2004. https://doi.org/10.1017/CBO9780511546709
G. Biondini and A. Bui, On the nonlinear Schrödinger equation on the half line with homogeneous Robin boundary conditions, Stud. Appl. Math. 129 (2012), 249--271. https://doi.org/10.1111/j.1467-9590.2012.00553.x
A. Boutet de Monvel, A.S. Fokas and D. Shepelsky, The mKDV equation on the half-line, J. Inst. Math. Jussieu 22 (2003), 1--27.
A. Boutet de Monvel, A.S. Fokas, and D. Shepelsky, Integrable nonlinear evolution equations on a finite interval, Comm. Math. Phys. 263 (2006) 133--172. https://doi.org/10.1007/s00220-005-1495-2
A. Boutet de Monvel and V. Kotlyarov, Scattering problems for the Zakharov-Shabat equations on the semi-axis, Inverse Problems 16 (2000) 1813--1837. https://doi.org/10.1088/0266-5611/16/6/314
A. Boutet de Monvel, J. Lenells, and D. Shepelsky, Long-time asymptotics for the Degasperis-Procesi equation on the half-line, Ann. Inst. Fourier. 69 (2019), 171--230. https://doi.org/10.5802/aif.3241
A. Boutet de Monvel, D. Shepelsky, The modified KdV equation on a finite interval, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I. 337 (2003), 517вЂ"522. https://doi.org/10.1016/j.crma.2003.09.009
A. Boutet de Monvel and D. Shepelsky, Initial boundary value problem for the mKdV equation on a finite interval, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 54 (2004) 1477--1495. https://doi.org/10.5802/aif.2056
A.Boutet de Monvel and D. Shepelsky, A Riemann-Hilbert approach for the Degasperis-Procesi equation, Nonlinearity. 26 (2013), 2081-2107. https://doi.org/10.1088/0951-7715/26/7/2081
P. Deift and Z. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems, Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1992) 119--123. https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1992-00253-7
B. Dodson, Defocusing Nonlinear Schrdinger Equations, Cambridge University Press, 2019. https://doi.org/10.1017/9781108590518
L. Erdos, B. Schlein, and H.T. Yau, Rigorous Derivation of the Gross-Pitaevskii Equation, Phys.rev.lett. 98 (2007), Paper No. 040404. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.040404
A.S. Fokas, A unified transform method for solving linear and certain nonlinear PDEs, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A 453 (1997) 1411--1443. https://doi.org/10.1098/rspa.1997.0077
A.S. Fokas, A Unified Approach to Boundary Value Problems, SIAM, Philadelphia, 2008. https://doi.org/10.1137/1.9780898717068
A.S. Fokas, The generalized Dirichlet-to-Neumann map for certain nonlinear evolution PDEs, Comm. Pure Appl. Math. 58 (2010), 639--670. https://doi.org/10.1002/cpa.20076
A.S. Fokas and A.R. Its, An initial-boundary value problem for the sine-Gordon equation, Theoret. Math. Phys. 92 (1992) 388--403. https://doi.org/10.1007/BF01017074
A.S. Fokas and A.R. Its, An initial-boundary value problem for the Korteweg-de Vries equation, Math. Comput. Simulation 37 (1994) 293--321. https://doi.org/10.1016/0378-4754(94)00021-2
A.S. Fokas and A.R. Its, The linearization of the initial-boundary value problem of the nonlinear Schrödinger equation, SIAM J. Math. Anal. 27 (1996) 738--764. https://doi.org/10.1137/0527040
A.S. Fokas and A.R. Its, The nonlinear Schrödinger equation on the interval, J. Phys. A: Math. Theor. 37 (2004) 6091--6114. https://doi.org/10.1088/0305-4470/37/23/009
A.S. Fokas, A.R. Its, and L.Y. Sung, The nonlinear Schrödinger equation on the half-line, Nonlinearity 18 (2005) 1771--1822. https://doi.org/10.1088/0951-7715/18/4/019
A.S. Fokas and J. Lenells, The unified method: I. Nonlinearizable problem on the half-line, J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012), Paper No. 195201. https://doi.org/10.1088/1751-8113/45/19/195201
C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, and R.M. Miura, Methods for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1095--1097. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.19.1095
X. Geng, H. Liu, and J. Zhu, Initial-boundary value problems for the coupled nonlinear Schrödinger equation on the half-line, Stud. Appl. Math. 135 (2015), 310--346. https://doi.org/10.1111/sapm.12088
B. Guo and N. Liu. Long-time asymptotics for the Kundu-Eckhaus equation on the half-line, J. Math. Phys. 59 (2018), Paper No. 061505. https://doi.org/10.1063/1.5020996
S. Kamvissis, Semiclassical nonlinear Schrödinger on the half line, J. Math. Phys. 44 (2003) 5849--5868. https://doi.org/10.1063/1.1624091
P.G. Kevrekidis, D.J. Frantzeskakis, and R. Carretero-González, Emergent Nonlinear Phenomena in Bose-Einstein Condensates, Springer, Berlin-Heidelberg, 2008. https://doi.org/10.1007/978-3-540-73591-5
J. Lenells, The derivative nonlinear Schrödinger equation on the half-line, Physica D 237 (2008) 3008--3019. https://doi.org/10.1016/j.physd.2008.07.005
J. Lenells, Initial-boundary value problems for integrable evolution equations with 3×3 Lax pairs, Phys. D. 241 (2012) 857--875. https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.01.010
J. Lenells, The Degasperis-Procesi equation on the half-line, Nonlinear Anal. 76 (2013) 122--139. https://doi.org/10.1016/j.na.2012.08.009
J. Lenells and A.S. Fokas, The unified method: II. NLS on the half-line $t$-periodic boundary conditions, J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012), Paper No. 195202. https://doi.org/10.1088/1751-8113/45/19/195202
J. Lenells and A.S. Fokas, The unified method: III. Nonlinearizable problem on the interval, J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012), Paper No. 195203. https://doi.org/10.1088/1751-8113/45/19/195203
E.H. Lieb, R. Seiringer, and J. Yngvason, Bosons in a trap: A rigorous derivation of the Gross-Pitaevskii energy functional, Physical Review A. 61(2000), Paper No. 043602. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.61.043602
B. Pelloni, The asymptotic behavior of the solution of boundary value problems for the sine-Gordon equation on a finite interval, J. Nonlinear Math. Phys. 12 (2005) 518--529. https://doi.org/10.2991/jnmp.2005.12.4.6
B. Pelloni, Advances in the study of boundary value problems for nonlinear integrable PDEs, Nonlinearity 28 (2015) R1--R38. https://doi.org/10.1088/0951-7715/28/2/R1
L. Pitaevskii and S. Stringari, Bose-Einstein Condensation and Superfluidity, 2016. https://doi.org/10.1093/acprof:oso/9780198758884.001.0001
S. Tian and T. Zhang, Long-time asymptotic behavior for the Gerdjikov-Ivanov type of derivative nonlinear Schr"odinger equation with time-periodic boundary condition, Proc. Amer. Math. Soc. 146 (2018), Paper No. 1. https://doi.org/10.1090/proc/13917
P.A. Treharne and A.S. Fokas, The generalized Dirichlet to Neumann map for the KdV equation on the half-line, J. Nonlinear Sci. 18 (2008) 191--217. https://doi.org/10.1007/s00332-007-9014-6
D. Wang, B. Guo, and X. Wang, Long-time asymptotics of the focusing Kundu-Eckhaus equation with nonzero boundary conditions. J Differential Equations 266 (2019), Paper No. 45. https://doi.org/10.1016/j.jde.2018.10.053
J. Xu and E. Fan, The unified transform method for the Sasa-Satsuma equation on the half-line, Proc. R. Soc. Ser. A. 469 (2013), Paper No. 20130068. https://doi.org/10.1098/rspa.2013.0068
J. Xu and E. Fan, Long-time asymptotics for the Fokas-Lenells equation with decaying initial value problem: without solitons, J. Differ. Equations. 259 (2015), 1098--1148. https://doi.org/10.1016/j.jde.2015.02.046
J. Xu and E. Fan, Initial-boundary value problem for integrable nonlinear evolution equation with 3×3 lax pairs on the interval, Stud. Appl. Math. 136 (2016), 321--354. https://doi.org/10.1111/sapm.12108
J. Xu and E. Fan, The initial-boundary value problem for the Ostrovsky-Vakhnenko equation on the half-line, Math. Phys. Anal. Geom. 19 (2016), Paper No. 20. https://doi.org/10.1007/s11040-016-9223-z
Z. Yan, Initial-boundary value problem for the spin-1 Gross-Pitaevskii system with a 4×4 Lax pair on a finite interval, J. Math. Phys. 60 (2019), Paper No. 083511. https://doi.org/10.1063/1.5058722
