A Note on Operator Equations Describing the Integral

Анотація

Вивчено операторні рівняння, які відповідають ланцюговому правилу та заміні змінних $$f \circ g + c = I (Tf \circ g \cdot Tg),\quad f, g \in C^1(\mathbb{R}), \quad (1)$$ де $T:C^1(\mathbb{R})\to C(\mathbb{R})$ і де $I$ визначено на $C(\mathbb{R})$. Розглянуто відповідні умови на $I$ і $T$ такі, що (1) коректно визначено, і, після переформулювання (1) у формі $$V(f \circ g) = T f \circ g \cdot T g,\quad f, g \in C^1(\mathbb{R}), \quad \quad (2)$$ з оператором $V:C^1(\mathbb{R})\to C(\mathbb{R})$, наведено загальну форму $T$, $V$ та $I$. Прості початкові умови гарантують, що похідна та інтеграл є єдиними розв’язками для $T$ та $I$. Також розглянуто операторний аналог  правила Лейбниця та вивчено його сюр'єктивність.

Mathematics Subject Classification: 39B52, 25A42, 34K30.