Algebro-Geometric Solutions to a New Hierarchy of Soliton Equations
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag11.04.359Анотація
За допомогою рекурентних рівнянь Ленарда отримана нова ієрархія солітонних рівнянь, асоційованих з 3×3 матричною спектральною задачею, та встановлені рівняння типу Дубровіна в термінах запропонованої тригональної кривої $\mathcal{K}_{m-1}$ арифметичного роду $m-1$. Спираючись на теорію алгебраїчних кривих, ми будуємо відповідні функції Бейкера-Ахієзера та мероморфні функції на $\mathcal{K}_{m-1}$. Знання нулів та полюсів функції Бейкера-Ахієзера та мероморфних функцій дозволяє нам знайти їх представлення в тета-функціях, з яких отримані алгебро-геометричні конструкції, і представлення в тета-функціях усієї ієрархії солітонних рівнянь.
Mathematics Subject Classification: 37K40, 37K20, 14H42.
Ключові слова:
тригональна крива, функція Бейкера-Ахієзера, алгебро-геометричні розв’язкиПосилання
M.J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform. SIAM, Philadelphia, PA, 1981. https://doi.org/10.1137/1.9781611970883
D.E. Belokolos, I.A. Bobenko, Z.V. Enol’skii, R.A. Its, and B.V. Matveev, AlgebroGeometric Approach to Nonlinear Integrable Equations. Springer, Berlin, 1994.
R. Hirota, The Direct Method in Soliton Theory. Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
C. Rogers and W.K. Schief, Bäcklund and Darboux Transformations. Geometry and Modern Applications in Soliton Theory. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. https://doi.org/10.1017/CBO9780511606359
S.P. Novikov, S.V. Manakov, L.P. Pitaevskii, and V.E. Zakharov, Theory of Solitons, the Inverse Scattering Methods. Consultants Bureau, New York, 1984.
I.M. Krichever, An Algebraic-Geometric Construction of the Zaharov–Shabat Equation and Their Periodic Solutions. — Dokl Akad Nauk SSSR 227 (1976), 291–294.
B.A. Dubrovin, Theta Functions and Nonlinear Equations. — Russian Math. Surveys 36 (1981), 11–80.
B.A. Dubrovin, Matrix Finite-Gap Operators. — J. Math. Sci. 28 (1985), 20–50. https://doi.org/10.1007/BF02104895
E. Date and S. Tanaka, Periodic Multi-Soliton Solutions of Korteweg–de Vries Equation and Toda Lattice. — Progr. Theor. Phys. Suppl. 59 (1976), 107–125. https://doi.org/10.1143/PTPS.59.107
Y.C. Ma and M.J. Ablowitz, The Periodic Cubic Schrödinger Equation. — Stud. Appl. Math. 65 (1981), 113–158. https://doi.org/10.1002/sapm1981652113
A.O. Smirnov, Real Finite-Gap Regular Solutions of the Kaup–Boussinesq Equation. — Theor. Math. Phys. 66 (1986), 19–31. https://doi.org/10.1007/BF01028935
F. Gesztesy and H. Holden, Algebro-Geometric Solutions of the Camassa–Holm Hierarchy. — Rev. Mat. Iberoam. 19 (2003), 73–142. https://doi.org/10.4171/RMI/339
C.W. Cao, Y.T. Wu, and X.G. Geng, Relation Between the Kadometsev– Petviashvili Equation and the Confocal Involutive System. — J. Math. Phys. 40 (1999), 3948–3970. https://doi.org/10.1063/1.532936
X.G. Geng and C.W. Cao, Decomposition of the (2 + 1)-dimensional Gardner Equation and its Quasi-Periodic Solutions. — Nonlinearity 14 (2001), 1433–1452. https://doi.org/10.1088/0951-7715/14/6/302
X.G. Geng, H.H. Dai, and J.Y. Zhu, Decomposition of the Discrete Ablowitz–Ladik Hierarchy. — Stud. Appl. Math. 118 (2007), 281–312. https://doi.org/10.1111/j.1467-9590.2007.00374.x
V.B. Matveev and A.O. Smirnov, On the Riemann Theta Function of a Trigonal Curve and Solutions of the Boussinesq and KP Equations. — Lett. Math. Phys. 14 (1987), 25–31 https://doi.org/10.1007/BF00403466
V.B. Matveev and A.O. Smirnov, Simplest Trigonal Solutions of the Boussinesq and Kadomtsev–Petviashvili Equations. — Sov. Phys. Dokl. 32 (1987), 202–204
S. Baldwin, J.C. Eilbeck, J. Gibbons, and Y. Ônishi, Abelian Functions for Cyclic Trigonal Curves of Genus 4. — J. Geom. Phys. 58 (2008), 450–467. https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2007.12.001
J.C. Eilbeck, V.Z. Enolski, S. Matsutani, Y. Ônishi, and E. Previato, Abelian Functions for Trigonal Curves of Genus Three. Int. Math. Res. Not. page Art.ID: rnm 140 (38 pages), 2007.
Y.V. Brezhnev, Finite-Band Potentials with Trigonal Curves. — Theor. Math. Phys. 133 (2002), 1657–1662. https://doi.org/10.1023/A:1021310208404
V.B. Matveev and A.O. Smirnov, Symmetric Reductions of the Riemann-Function and Some of Their Applications to the Schrödinger and Boussinesq Equations. — Amer. Math. Soc. Transl. 157 (1993), 227–237.
E. Previato, The Calogero–Moser–Krichever System and Elliptic Boussinesq Solitons. In: Hamiltonian Systems, Transformation Groups and Spectral Transform Methods, J. Harnad and J.E. Marsden (eds.). Monreal, CRM (1990), 57–67.
E. Previato, Monodromy of Boussinesq Elliptic Operators. — Acta Appl. Math. 36 (1994), 49–55. https://doi.org/10.1007/BF01001542
E. Previato and J.L. Verdier, Boussinesq Elliptic Solitons: the Cyclic Case. In: Proceedings of the Indo-French Conference on Geometry, S. Ramanan and A. Beauville (eds.). Hindustan Book Agency, Dehli (1993), 173–185.
A.O. Smirnov, A Matrix Analogue of Appell’s Theorem and Reductions of MultiDimensional Riemann Theta Functions. — Math. USSR-Sb. 61 (1988), 379–388. https://doi.org/10.1070/SM1988v061n02ABEH003213
H. Airault, H.P. Mckean, and J. Moser, Rational and Elliptic Solutions of the Korteweg–de Vries Equation a Related Many-Body Problem. — Comm. Pure. Appl. Math. 30 (1977), 95–148. https://doi.org/10.1002/cpa.3160300106
H.P. Mckean, Integrable Systems and Algebraic Curves. In: Global Analysis. Lecture Notes in Mathematics, M. Grmela and J.E. Marsden (eds.). 755 (1979), 83–200. https://doi.org/10.1007/bfb0069806
R. Dickson, F. Gesztesy, and K. Unterkofler, Algebro-Geometric Solutions of the Boussinesq Hierarchy. — Rev. Math. Phys. 11 (1999), 823–879. https://doi.org/10.1142/S0129055X9900026X
X.G. Geng, L.H. Wu, and G.L. He, Algebro-Geometric Constructions of the Modified Boussinesq Flows and Quasi-Periodic Solutions. — Physica D 240 (2011), 1262–1288. https://doi.org/10.1016/j.physd.2011.04.020
X.G. Geng, L.H. Wu, and G.L. He, Quasi-periodic Solutions of the Kaup– Kupershmidt Hierarchy. — J. Nonlinear Sci. 23 (2013), 527–555. https://doi.org/10.1007/s00332-012-9160-3
P. Griffiths and J. Harris, Principles of Algebraic Geometry. Wiley, New York, 1994. https://doi.org/10.1002/9781118032527
D. Mumford, Tata lectures on theta II. Birkh¨auser, Boston, 1984.
