On the Form of Dispersive Shock Waves of the Korteweg-de Vries Equation
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag12.01.003Анотація
Показано, що поведінка за великий час розв'язків рівняння Кортевега-де Фріза з початковими даними типу сходинки, які відповідають хвилі стиснення, в зоні еліптичної хвилі може бути описана слабко модульованим двозонним розв'язком. Модуль цієї еліптичної функції, який визначається спектром фонового оператора, залежить від розміру сходинки в початкових даних і від напрямку, в якому досліджується асимптотична поведінка розв'язку. Своєю чергою, фазовий зсув (тобто спектр задачі Діріхле) у цій еліптичній функції залежить також від даних розсіювання, і його пораховано за допомогою проблеми обертання Якобі.
Mathematics Subject Classification: 37K40, 35Q53, 33E05, 35Q15.
Ключові слова:
рівняння КдФ, дані типу сходинки, дисперсійна хвиля стисненняПосилання
M.J. Ablowitz and D.E. Baldwin, Interactions and Asymptotics of Dispersive Shock Waves — Korteweg–de Vries Equation. — Phys. Lett. A 377 (2013), 555–559. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2012.12.040
N.I. Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions. Translation of Mathematical Monographs 79, Amer. Math. Soc., Providence, 1990.
R.F. Bikbaev, Structure of a Shock Waves in the Theory of the Korteweg–de Vries Equation. — Phys. Lett. A 141 (1989), 289–293. https://doi.org/10.1016/0375-9601(89)90487-8
R.F. Bikbaev and V.Yu. Novokshenov, Self-Similar Solutions of the Whitham Equations and KdV Equation with Finite-Gap Boundary Conditions. — Proc. of the III Intern. Workshop. Kiev 1 (1988), 32–35.
R.F. Bikbaev and V.Yu. Novokshenov, Existence and Uniqueness of the Solution of the Whitham Equation. Asymptotic methods for solving problems in mathematical physics, 81–95, Akad. Nauk SSSR Ural. Otdel., Bashkir. Nauchn. Tsentr, Ufa, 1989. (Russian)
R.F. Bikbaev and R.A. Sharipov, The Asymptotic Behavior as t → ∞ of the Solution of the Cauchy Problem for the Korteweg–de Vries Equation in a Class of Potentials with Finite-Gap Behavior as x → ±∞. — Theor. Math. Phys. 78 (1989), 244–252. https://doi.org/10.1007/BF01017661
V.S. Buslaev and V.N. Fomin, An Inverse Scattering Problem for the OneDimensional Schrödinger Equation on the Entire Axis. Vestnik Leningrad. Univ. 17 (1962), 56–64. (Russian)
B.A. Dubrovin, Theta Functions and Nonlinear Equations. — Russian Math. Surveys 36 (1981), 11–92.
H.B. Dwight, Tables of Integrals and Other Mathematical Data. 4th ed. The Macmillan Company, New York, 1961.
I. Egorova, Z. Gladka, V. Kotlyarov, and G. Teschl, Long-Time Asymptotics for the Korteweg–de Vries Equation with Steplike Initial Data. — Nonlinearity 26 (2013), 1839–1864. https://doi.org/10.1088/0951-7715/26/7/1839
I. Egorova, Z. Gladka, T.L. Lange, and G. Teschl, Inverse Scattering Theory for Schrödinger Operators with Steplike Potentials. — J. Math. Phys., Anal., Geom. 11 (2015), 123–158.
H.M. Farkas and I. Kra, Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics 71, Springer-Verlag, New York, 1980.
B. Fornberg and G. B. Whitham, A numerical and Theoretical Study of Certain Nonlinear Wave Phenomena. — Phil. Trans. R. Soc. Lond 289 (1978), 373–404.
F. Gesztesy and H. Holden, Soliton Equations and Their Algebro-Geometric Solutions; Volume I: (1+1)-Dimensional Continuous Models. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 79, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003.
A.V. Gurevich and L.P. Pitaevskii, Decay of Initial Discontinuity in the Korteweg– de Vries Equation. — JETP Letters 17 (1973), 193–195.
A.V. Gurevich and L.P. Pitaevskii, Nonstationary Structure of a Collisionless Shock Wave. — Soviet Phys. JETP 38 (1974), 291–297.
A.R. Its and V.B. Matveev, Schrödinger Operators with the Finite-Band Spectrum and the N -soliton Solutions of the Korteweg–de Vries Equation. — Teoret. Mat. Fiz. 23 (1975), No. 1, 51–68. (Russian)
V.P. Kotlyarov and A.M. Minakov, Riemann–Hilbert Problem to the Modified Korteweg–de Vries Equation: Long-Time Dynamics of the Step-like Initial Data. — J. Math. Phys. 51 (2010), 093506. https://doi.org/10.1063/1.3470505
V.P. Kotlyarov and A.M. Minakov, Step-Initial Function to the MKdV Equation: Hyper-Elliptic Long-Time Asymptotics of the Solution. — J. Math. Phys., Anal. Geom. 8 (2012), 38–62.
S.B. Kuksin, Analysis of Hamiltonian PDEs. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications 19, Oxford University Press, Oxford, 2000.
J.A. Leach and D.J. Needham, The Large-Time Development of the Solution to an Initial-Value Problem for the Korteweg–de Vries Equation. II. Initial Data has a Discontinuous Compressive Step. — Mathematika 60 (2014), 391–414. https://doi.org/10.1112/S0025579313000284
V.A. Marchenko, Sturm–Liouville Operators and Applications, rev. ed. Amer. Math. Soc., Providence, 2011.
V.Yu. Novokshenov, Time Asymptotics for Soliton Equations in Problems with StepInitial Conditions. -- J. Math. Sci. 125 (2005), 717749.
