Eigenvalue Distribution of Bipartite Large Weighted Random Graphs. Resolvent Approach
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag12.01.078Анотація
Досліджується розподіл власних значень матриці суміжності $A^{(N,p, \alpha)}$ взваженого випадкового дводольного графу $\Gamma= \Gamma_{N,p,\alpha}$. Припускається, що цей граф має $N$ вершин, співвідношення розміру його частин дорівнює $\displaystyle \frac{\alpha}{1-\alpha}$ та середній ступінь вершини дорівнює $\alpha\cdot p$ та $(1-\alpha)\cdot p$ для першої та другої компоненти. До кожного ребра графа $ e_ {ij} $ приписується в якості ваги випадкова величина $a_ {ij} $ зі скінченим другим моментом. Розглядаються резольвенти $G^{(N,p, \alpha)}(z)$ матриці $A^{(N,p,
\alpha)}$, та вивчаються функції $f_{1,N}(u,z)=\frac{1}{[\alpha
N]}\sum_{k=1}^{[\alpha N]}e^{-ua_k^2G_{kk}^{(N,p,\alpha)}(z)}$ та
$f_{2,N}(u,z)=\frac{1}{N-[\alpha N]}\sum_{k=[\alpha
N]+1}^Ne^{-ua_k^2G_{kk}^{(N,p,\alpha)}(z)}$ у границі $N\to\infty$. Виводиться система рівнянь, однозначно визначаюча граничні функції $f_{1}(u,z)$ та $f_{2}(u,z)$. З цієї системи випливає існування граничної міри $\sigma_{p, \alpha}$. Доводиться слабка збіжність за ймовірністю нормованих рахуючих мір.
Mathematics Subject Classification: 15B52.
Ключові слова:
розріджені випадкові матриці, дводольні графи, нормалізована міра підрахунку власних значеньПосилання
M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York, 1972.
M. Bauer and O. Golinelli, Random Incidence Matrices: Spectral Density at Zero Energy. Saclay preprint T00/087; cond-mat/0006472.
M. Bauer and O. Golinelli, Random Incidence Matrices: Moments and Spectral Density. — J. Stat. Phys. 103 (2001), 301–336. https://doi.org/10.1023/A:1004879905284
F. Benaych-Georges, A. Guionnet, and C. Male, Central Limit Theorems for Linear Statistics of Heavy Tailed Random Matrices. — Comm. Math. Phys. 329 (2014), No. 2, 641–686.
B. Bollobas, Random Graphs. New York, Acad. Press, 1985.
Y.V. Fyodorov and A.D. Mirlin, Strong Eigenfunction Correlations near the Anderson Localization Transition. — Phys. Rev. B 55 (1997), R16001–R16004.
S. Janson, T. Luczak, and A. Rucinski, Random Graphs. John Wiley & Sons, Inc. New York, 2000. https://doi.org/10.1002/9781118032718
O. Khorunzhy, M. Shcherbina, and V. Vengerovsky, Eigenvalue Distribution of Large Weighted Random Graphs. — J. Math. Phys. 45 (2004), No, 4, 1648–1672.
O. Khorunzhy, B. Khoruzhenko, L. Pastur and M. Shcherbina, The Large-n Limit in Statistical Mechanics and Spectral Theory of Disordered System. Phase Transition and Critical Phenomena. 15, p. 73, Academic Press, 1992.
M.L. Mehta, Random Matrices. New York, Acad. Press, 1991.
A.D. Mirlin and Y.V. Fyodorov, Universality of the Level Correlation Function of Sparce Random Matrices. — J. Phys. A: Math. Jen. 24 (1991), 2273–2286. https://doi.org/10.1088/0305-4470/24/10/016
G.J. Rodgers and A.J. Bray, Density of States of a Sparse Random Matrix. — Phys. Rev. B 37 (1988), 3557–3562. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.37.3557
G.J. Rodgers and C. De Dominicis, Density of States of Sparse Random Matrices. — J. Phys. A: Math. Jen. 23 (1990), 1567–1566. https://doi.org/10.1088/0305-4470/23/9/019
M. Shcherbina and B. Tirozzi, Central Limit Theorem for Fluctuations of Linear Eigenvalue Statistics of Large Random Graphs. — J. Math. Phys. 51 (2010), No. 2, 023523.
M. Shcherbina and B. Tirozzi, Central Limit Theorem for Fluctuations of Linear Eigenvalue Statistics of Large Random Graphs: Diluted Regime. — J. Math. Phys. 53 (2012), No. 4, 043501.
V. Vengerovsky, Eigenvalue Distribution of a Large Weighted Bipartite Random Graph. — J. Math. Phys., Anal., Geom. 10 (2014), No. 2, 240–255.
E.P. Wigner, On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices. --Ann. Math. 67 (1958), 325327.
