Distribution of Eigenvalues of Sample Covariance Matrices with Tensor Product Samples
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag13.01.082Анотація
У роботi розглядаються $n^2\times n^2$ дiйснi симетричнi та ермiтовi матрицi $M_n$, якi можна представити у виглядi суми $m_n$ тензорних добуткiв векторiв $X^{\mu}=B(Y^{\mu} \bigotimes Y^{\mu}), \mu=1, \ldots, m_n$, де $Y^{\mu}$ - це н.о.р. випадковi вектори з ${\mathbb R}^n({\mathbb C}^n)$ з нульовим математичним сподiванням та одиничною дисперсiєю, а $B$ - це $n^2\times n^2$ додатно визначена невипадкова матриця. Доведено, що якщо $m_n/n^2 \to c\in [0,+\infty)$, та розподiл власних значень матрицi $BJB$, де $J$ визначається нижче у (2.6), слабко збiгається, тодi нормована рахуюча мiра власних значень матрицi $M_n$ слабко збiгається по iмовiрностi до невипадкової мiри, а її перетворення Стiлтьєса може бути однозначно знайдено за допомогою певного рiвняння.
Mathematics Subject Classification: 15B52.
Ключові слова:
випадкові матриці, матриці коваріацій, тензорний добуток, розподіл власних значеньПосилання
N.I. Akhiezer and I.M. Glazman, Theory of Linear Operators in Hilbert Space. Dover, New York, 1993.
G. Akemann, J. Baik, and P. Di Francesco, The Oxford Handbook of Random Matrix Theory. Oxford Univ. Press, Oxford, 2011.
Z.D. Bai and J.W. Silverstein, Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices. Springer, New York, 2010. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0661-8
P.J. Forrester, Log-Gases and Random Matrices. Princeton Univ. Press, Princeton, New York, 2010.
J.S. Geronimo and T.P. Hill, Necessary and Suffcient Condition that the Limit of Stieltjes Transforms is the Stieltjes Transform. J. Approx. Theory, 2003. https://doi.org/10.1016/S0021-9045(02)00042-4
V.L. Girko, Theory of Stochastic Canonical Equations. Vols. I, II. Kluwer, Dordrecht, 2001.
T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators. Springer-Verlag, Berlin, 1976. https://doi.org/10.1007/978-3-642-66282-9
A. Lytova and L. Pastur, Central Limit Theorem for Linear Eigenvalue Statistics of Random Matrices with Independent Entries. — Annals of Probability 37 (2009), No. 5, 1778–1840 .
V. Marchenko and L. Pastur, The Eigenvalue of Distribution in Some Ensembles of Random Matrices. — Math. USSR Sbornik 1 (1967).
L. Pastur and M. Shcherbina, Eigenvalue Distribution of Large Random Matrices. Mathematical Survives and Monographs. Vol. 171. AMS Providence, RI, 2011.
M. Shcherbina, Central Limit Theorem for Linear Eigenvalue Statistics of theWigner and Sample Covariance Random Matrices. — J. Math. Phys., Anal., Geom.7 (2011), No. 2, 176–192.
