Arity Shape of Polyadic Algebraic Structures
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.01.003Анотація
Конкретні двомножинні (модуль-подібні і алгебра-подібні) алгебраїчні структури досліджено з точки зору початкових арностей операцій, які вважаються довільними. Однак співвідношення між операціями, які є наслідками структури означень, призводять до обмежень, що визначаються формою можливих арностей і дозволяють нам сформулювати принцип свободи часткових арностей. Розглядаються поліадичні векторні простори та алгебри, двоїсті векторні простори, прямі суми, тензорні добутки, спарювання внутрішніх просторів. Окреслено елементи поліадичної теорії операторів: уведено мультизірки і поліадичні аналоги спряжених, операторних норм, ізометрій і проекцій, а також також поліадичні C*-алгебри, алгебри Тепліца і алгебри Кунца, представлені поліадичними операторами. Показано, що класи конгруенції є поліадичними кільцями спеціального виду. Уведено поліадичні числа (див. означення 7.17) та діофантові рівняння над поліадичними кільцями. Сформульовано поліадичні аналоги гіпотези Ландера-Паркіна-Самоліджра і останню теорему Ферма. Доведено, що для поліадичних чисел жодне із згаданих тверджень не виконується. Сформульовано поліадичні версії теореми Фролова та проблеми Таррі-Ескотта.
Mathematics Subject Classification: 11D41, 11R04, 11R06, 17A42, 20N15, 47A05, 47L30, 47L70, 47L80.
Ключові слова:
поліадичне кільце, поліадичний векторний простір, мультидія, мультизірка, діофантове рівняння, остання теорема Ферма, гіпотеза Ландера-Паркіна-СелфріджаПосилання
J.-P. Allouche and J. Shallit, The ubiquitous Prouhet–Thue–Morse sequence, Sequences and their Applications. Proceedings of the International Conference, SETA ’98, Singapore, December, 1998, Springer, London, 1999, 1–16.
V.D. Belousov, n-Ary Quasigroups, Shtintsa, Kishinev, 1972.
C. Bergman, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, CRC Press, New York, 2012.
D. Boccioni, Caratterizzazione di una classe di anelli generalizzati, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova 35 (1965), 116–127.
P. Borwein, The Prouhet–Tarry–Escott problem, Computational Excursions in Analysis and Number Theory, CMS books in mathematics: 10, Springer-Verlag, New York, 2002, 85–95.
R. Carlsson, Cohomology of associative triple systems, Proc. Amer. Math. Soc. 60 (1976), 1–7. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1976-0430026-X
R. Carlsson, N -ary algebras, Nagoya Math. J. 78 (1980), 45–56. https://doi.org/10.1017/S0027763000018791
N. Celakoski, On (F, G)-rings, Prirod.-Mat. Fak. Univ. Kiril Metodij Skopje Godišen Zb. 28 (1977), 5–15.
P.M. Cohn, Universal Algebra, Harper & Row, New York, 1965.
G. Crombez, On (n, m)-rings, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 37 (1972), 180–199. https://doi.org/10.1007/BF02999696
G. Crombez and J. Timm, On (n, m)-quotient rings, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 37 (1972), 200–203. https://doi.org/10.1007/BF02999696
J. Cuntz, Simple C ∗ -algebras generated by isometries, Comm. Math. Phys. 57 (1977), 173–185. https://doi.org/10.1007/BF01625776
G. Čupona, On [m, n]-rings, Bull. Soc. Math. Phys. Macedoine 16 (1965), 5–9.
K. Denecke and S.L. Wismath, Universal Algebra and Coalgebra, World Scientific, Singapore, 2009.
H.L. Dorwart and O.E. Brown, The Tarry–Escott problem, Amer. Math. Monthly 44 (1937), 613–626. https://doi.org/10.2307/2301480
S. Duplij, Polyadic systems, representations and quantum groups, Visn. Kharkiv. Nats. Univ. 1017 (2012), No. 3(55), Yadra, Chastynky, Polya, 28–59. Expanded version available from: arXiv: 1308.4060.
S. Duplij, A “q-deformed” generalization of the Hosszú-Gluskin theorem, Filomat 30 (2016), 2985–3005. https://doi.org/10.2298/FIL1611985D
S. Duplij, Polyadic integer numbers and finite (m,n)-fields, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Appl. 9 (2017), 257–281. Available from: arXiv: 1707.00719.
S. Duplij and W. Marcinek, Semisupermanifolds and regularization of categories, modules, algebras and Yang-Baxter equation, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 102 (2001), 293–297. https://doi.org/10.1016/S0920-5632(01)01569-9
S. Duplij and W. Marcinek, Regular obstructed categories and topological quantum field theory, J. Math. Phys. 43 (2002), 3329–3341. https://doi.org/10.1063/1.1473681
S. Duplij and W. Werner, Structure of unital 3-fields, preprint, arXiv: 1505.04393.
R.L. Ekl, New results in equal sums of like powers, Math. Comp. 67 (1998), 1309– 1315. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-98-00979-X
N.D. Elkies, On A4 + B 4 + C 4 = D4 , Math. Comp. 51 (1988), 825–835. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9
M. Frolov, Égalités à deux degrés, Bull. Soc. Math. Fr. 17 (1889), 69–83. https://doi.org/10.24033/bsmf.381
A.M. Gal’mak, n-Ary Groups, Part 1, Gomel University, Gomel, 2003.
K. Glazek and J. Michalski, On polyadic groups which are term-derived from groups, Stud. Sci. Math. Hung. 19 (1984), 307–315.
G. Grätser, Universal Algebra, D. Van Nostrand Co., Inc., New York–Toronto, 1968.
P. Halmos, Algebraic Logic, Chelsea Publishing, New York, 1962.
L. Iancu and M. S. Pop, A Post type theorem for (m, n) fields, Proceedings of the Scientific Communications Meeting of “Aurel Vlaicu” University, Arad, Romania, May 16–17, 1996, Edition III, 14A, “Aurel Vlaicu” Univ. of Arad Publishing Centre, Arad, 1997, 13–18.
L. Lander, T. Parkin, and J. Selfridge, A survey of equal sums of like powers, Math. Comput. 21 (1967), 446–459. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-1967-0230677-4
J.J. Leeson and A.T. Butson, On the general theory of (m, n) rings., Algebra Univers. 11 (1980), 42–76. https://doi.org/10.1007/BF02483081
D.H. Lehmer, The Tarry–Escott problem, Scripta Math. 13 (1947), 37–41.
W.G. Lister, Ternary rings, Trans. Amer. Math. Soc. 154 (1971), 37–55. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1971-0272835-6
J. Michalski, On J-derived polyadic groups, Mathematica (Cluj) 30 (53) (1988), 149–155.
P.W. Michor and A.M. Vinogradov, n-ary Lie and associative algebras, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino 54 (1996), 373–392.
F. Mignot, Contrôle dans les inéquations variationelles elliptiques, J. Funct. Anal. 22 (1976), 130–185. https://doi.org/10.1016/0022-1236(76)90017-3
A. Misiak, n-Inner product spaces, Math. Nachr. 140 (1989), 299–319. https://doi.org/10.1002/mana.19891400121
J.D. Monk and F. Sioson, m-semigroups, semigroups and function representations, Fundam. Math. 59 (1966), 233–241. https://doi.org/10.4064/fm-59-3-233-241
H.D. Nguyen, A new proof of the Prouhet–Tarry–Escott problem, Integers 16 (2016), A01, 1–9.
A. Pop and M.S. Pop, Some embeddings theorems for (n, 2)-rings, Bul. Ştiinţ. Univ. Baia Mare, Ser. B, Fasc. Mat.-Inform. 18 (2002), 311–316.
S.A. Rusakov, Some Applications of n-ary Group Theory, Belaruskaya Navuka, Minsk, 1998.
R. Spira, The Diophantine equation x2 + y 2 + z 2 = m2 , Am. Math. Mon. 69 (1962), 360–365. https://doi.org/10.2307/2312125
K. Subba Rao, On sums of sixth powers, J. London Math. Soc. 9 (1934), No. 3, 172–173.
A. Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, Ann. Math. 141 (1995), 443–551.
D. Zupnik, Polyadic semigroups, Publ. Math. (Debrecen) 14 (1967), 273–279.
