The Einstein-Hilbert Type Action on Pseudo-Riemannian Almost-Product Manifolds
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.01.086Анотація
Ми досліджуємо варіаційні формули для зовнішньо геометричних величин псевдоріманових многовидів-майже-добутків і ми розглядаємо варіації метрики, які зберігають ортогональність розподілів. Ці формули застосовано для вивчення дій типу Ейнштейна-Гільберта для змішаної скалярної кривини та зовнішньої скалярної кривини розподілу. Рівняння Ейлера-Лагранжа одержано у повній загальності та в декількох окремих випадках (розшарувань, які є інтегровними пласкими полями, конформних субмерсій та ін.). Одержані рівняння Ейлера-Лагранжа узагальнюють результати для розшарувань ковимірності один на випадок довільної ковимірності та допускають багато розв'язків, тобто скручених добутків та ізопараметричних розшарувань.
Mathematics Subject Classification: 53C12, 53C44.
Ключові слова:
псевдоріманова метрика, многовид-майже-добуток, розшарування, друга фундаментальна форма, адаптована варіація, змішана скалярна кривина, конформна субмерсіяПосилання
E. Barletta, S. Dragomir, V. Rovenski, and M. Soret, Mixed gravitational field equations on globally hyperbolic spacetimes, Class. Quantum Grav. 30 (2013), 085015. https://doi.org/10.1088/0264-9381/30/8/085015
E. Barletta, S. Dragomir, and V. Rovenski, The Einstein–Hilbert type action on foliations, Balkan J. Geom. Appl. 22 (2017), No. 1, 1–17.
A. Bejancu and H. Farran, Foliations and Geometric Structures. Mathematics and Its Applications, 580, Springer-Verlag, Dordrecht, 2006.
A. Candel and L. Conlon, Foliations, I. Graduate Studies in Mathematics, 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.
M. Falcitelli, S. Ianus, and A.M. Pastore, Riemannian Submersions and Related Topics, World Scientific, Singapore, 2004. https://doi.org/10.1142/5568
H. Gluck and W. Ziller, On the volume of a unit vector field on the three-sphere, Comment. Math. Helv. 61 (1986), 177–192. https://doi.org/10.1007/BF02621910
A. Gray, Pseudo-Riemannian almost-product manifolds and submersions, J. Math. Mech. 16 (1967), No. 7, 715–737.
S. Gudmundsson, On the geometry of harmonic morphisms, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 108 (1990), 461–466. https://doi.org/10.1017/S0305004100069358
P. Li and L.-F. Tam, Positive harmonic functions on complete manifolds with nonnegative curvature outside a compact set, Ann. of Math. (2) 125 (1987), No. 1, 171–207.
A.M. Naveira, A classification of Riemannian almost-product manifolds, Rend. Mat. 7 (1983), No. 3, 577–592.
B. O’Neill, Semi-Riemannian Geometry. Pure and Applied Mathematics, 103, Academic Press, New York, 1983.
R. Ponge and H. Reckziegel, Twisted products in pseudo-Riemannian geometry, Geom. Dedicata 48 (1993), 15–25. https://doi.org/10.1007/BF01265674
V. Rovenski, On solutions to equations with partial Ricci curvature, J. Geom. Phys. 86 (2014), 370–382. https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2014.09.003
V. Rovenski and P. Walczak, Topics in Extrinsic Geometry of Codimension-One Foliations, Springer Briefs in Mathematics, Springer, New York, 2011. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-9908-5
P. Tondeur, Foliations on Riemannian Manifolds, Springer-Verlag, New York, 1988. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8780-0
P. Topping, Lectures on the Ricci Flow, LMS Lecture Notes, 325, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006. https://doi.org/10.1017/CBO9780511721465
P. Walczak, An integral formula for a Riemannian manifold with two orthogonal complementary distributions, Colloq. Math. 58 (1990), 243–252. https://doi.org/10.4064/cm-58-2-243-252
T. Zawadzki, Existence conditions for conformal submersions with totally umbilical fibers, Differential Geom. Appl. 35 (2014), 69–85. https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2014.01.010
