Propagation of Singularities for Large Solutions of Quasilinear Parabolic Equations
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.01.131Анотація
Розглянуто квазілінійне параболічне рівняння з потенціалом абсорбції: \begin{equation*} \left(|u|^{q-1}u\right)_t-\Delta_p(u)=-b(t,x)|u|^{\lambda-1}u\quad (t,x)\in(0,T)\times\Omega,\end{equation*} $\lambda>p>q>0,$ де $\Omega$ є обмеженою гладкою областью в ${R}^n$, $n$ ≥ 1, $b$ є потенціалом абсорбції, який є неперервною функцією такою, що $b(t,x)>0$ в $[0,T)\times\Omega$ та $b(t,x)\equiv0$ в $\{T\}\times\Omega$. У роботі розглянуто умови на $b(t,x)$, які гарантують рівномірну обмеженість довільного слабкого розв'язку зазначеного рівняння в будь-якій підобласті $\Omega_0:\overline{\Omega}_0\subset\Omega$. За цих умов одержано точну оцінку зверху для всіх слабких розв'язків $u$. Цю оцінку виконано для розв'язків цього рівняння з довільними початковими та граничними даними, включаючи сингулярні дані (якщо такі розв'язки існують), а саме $u=\infty$ на $\{0\}\times\Omega$, $u=\infty$ на $(0,T)\times\partial\Omega$.
Mathematics Subject Classification: 35K59, 35B44, 35K58, 35K65.
Ключові слова:
диференціальні рівняння з частинними похідними, квазілінійне параболічне рівняння, вироджений потенціал абсорбції, великі розв'язки.Посилання
H.W. Alt and S. Luckhaus, Quasilinear elliptic-parabolic differential equations, Math. Z. 183 (1983), No. 3, 311–341.
C. Bandle, G. Diaz, and J.I. Diaz, Solutions d’equations de reaction-diffusion non lineaires explosant au bord parabolique, C. R. Acad. Sci. Paris S’er. I Math. 318 (1994), 455–460.
Y. Du, R. Peng, and P. Polaĉik, The parabolic logistic equation with blow-up initial and boundary values, J. Anal. Math. 118 (2012), 297–316. https://doi.org/10.1007/s11854-012-0036-0
V.A. Galaktionov and A.E. Shishkov, Saint-Venant’s principle in blow-up for higher order quasilinear parabolic equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sect. A 133 (2003), No. 5, 1075–1119.
V.A. Galaktionov and A.E. Shishkov, Structure of boundary blow-up for higherorder quasilinear parabolic equations, Proc. R. Soc. Lond., Ser. A, Math. Phys. Eng. Sci. 460 (2004), No 2051, 3299–3325. https://doi.org/10.1098/rspa.2004.1297
A.V. Ivanov, P.Z. Mkrtychan, and W. Jäger, Existence and uniqueness of a regular solution of the Cauchy–Dirichlet problem for a class of doubly nonlinear parabolic equations, Zap. Nauchn. Sem. S.-Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 213, (1994), 48–65 (Russian); Engl. transl.: J. Math. Sci. 84 (1997), 845–855.
A.V. Ivanov and P.Z. Mkrtychan, Existence of Hölder continuous generalized solutions of the first boundary value problem for quasilinear doubly degenerate parabolic equations, Zap. Nauchn. Sem. Leningr. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 182, (1990), 5–28 (Russian); Engl. transl.: J. Soviet Math., 62 (1992), 2725–2740.
A.A. Kovalevsky, I.I. Skrypnik, and A.E. Shishkov, Singular Solutions in Nonlinear Elliptic and Parabolic Equations, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 24, De Gruyter, Basel, 2016. https://doi.org/10.1515/9783110332247
W. Al Sayed and L. Veron, On uniqueness of large solutions of nonlinear parabolic equations in nonsmooth domains, Adv. Nonlinear Stud. 9 (2009), 149–164. https://doi.org/10.1515/ans-2009-0107
W. Al Sayed and L. Veron, Solutions of some nonlinear parabolic equations with initial blow-up, On the Notions of Solution to Nonlinear Elliptic Problems: Results and Development, Department of Mathematics, Seconda Universit‘a di Napoli, Caserta, (2008), 1–23.
A.E. Shishkov, Large solutions of parabolic logistic equation with spatial and temporal degeneracies, Discrete Contin. Dyn. Syst., Ser. S 10 (2017), No. 10, 895–907.
A.E. Shishkov and A.G. Shchelkov, Blow-up boundary regimes for general quasilinear parabolic equations in multidimensional domains, Sbornik: Mathematics 190 (1999), No. 3, 447–479.
A.E. Shishkov and Ye.A. Yevgenieva, Localized peaking regimes for quasilinear doubly degenerate parabolic equations, preprint, arXiv: 1811.00629.
A.E. Shishkov and Ye.A. Yevgenieva, for quasilinear parabolic equations, https://doi.org/10.1002/mana.201700436. https://doi.org/10.1002/mana.201700436
G. Stampacchia, Équations Elliptiques du Second Ordre à Coefficients Discontinus, Séminaire de Mathématiques Supérieures, No. 16 (Été, 1965), Les Presses de l’Université de Montréal, Montreal, 1966 (French).
L. Veron, A note on maximal solutions of nonlinear parabolic equations with absorption, Asymptot. Anal. 72 (2011), 189–200.
Ye.A. Yevgenieva, Limiting profile of solutions of quasilinear parabolic equations with flat peaking, J. Math. Sci. (N.Y.), 234 (2018), 106–116. https://doi.org/10.1007/s10958-018-3985-8
