Translation-Invariant Gibbs Measures for the Blum-Kapel Model on a Cayley Tree
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.02.239Анотація
У даній роботі розглянуто трансляційно-інваріантні міри Гіббса для моделі Блюма--Капеля на дереві Кейлі порядку $ k $. Знайдено таку приблизну критичну температуру $ T_ {cr} $, що для $T\geq T_{cr}$ існує єдина трансляційно-інваріантна міра Гіббса, а для $ 0 < T < T_ {cr} $ є рівно три трансляційно-інваріантні міри Гіббса. Крім того, вивчено проблему (не)екстремальності для унікальної міри Гіббса.
Mathematics Subject Classification: 82B26, 60K35.
Ключові слова:
дерево Кейлі, конфігурація, модель Блюма-Капеля, міра Гіббса, трансляційно-інваріантна міра, екстремальність міри.Посилання
E.N. Cirillo and E. Olivieri, Metastabilty and nucleation for the Blume–Capel model. Different mechanisms of transition, J. Statist. Phys. 83 (1996), No. 3–4, 473–554. https://doi.org/10.1007/BF02183739
M. Formentin and C. Külske, A symmetric entropy bound on the non-reconstruction regime of Markov chains on Galton–Watson trees, Electron. Commun. Probab. 14 (2009), 587–596. https://doi.org/10.1214/ECP.v14-1516
N.N. Ganikhodzhaev and U.A. Rozikov, Description of periodic extreme Gibbs measures for some lattice models on the Cayley tree, Teoret. Mat. Fiz. 111(1) (1997), 109–117 (Russian); Engl. transl.: Theoret. and Math. Phys. 111 (1997), 480–486. https://doi.org/10.1007/BF02634202
H.-O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions, De Gruyter Studies in Mathematics, 9, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1988.
O. Hryniv and R. Kotecký, Surfase tension and the Orustein–Zernike behavior for the 2D Blume–Capel model, J. Statist. Phys. 106 (2002), 431–476. https://doi.org/10.1023/A:1013797920029
H. Kesten and B.P. Stigum, Additional limit theorem for indecomposable multidimensional Galton–Watson processes, Ann. Math. Statist. 37 (1966), 1463–1481. https://doi.org/10.1214/aoms/1177699139
N.M. Khatamov, New classes of ground states for the Potts model with random competing interactions on a Cayley tree, Teoret. Mat. Fiz. 180 (2014), 86–93 (Russian); Engl. transl.: Theoret. and Math. Phys. 180 (2014), 827–834. https://doi.org/10.1007/s11232-014-0182-x
N.M. Khatamov, Nonuniqueness of a Gibbs measure for the Ising ball model, Teoret. Mat. Fiz. 180 (2014), 318–328 (Russian); Engl. transl.: Theoret. and Math. Phys. 180 (2014), 1030–1039. https://doi.org/10.1007/s11232-014-0197-3
C. Külske and U.A. Rozikov, Fuzzy transformations and extremality of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree, Random Structures and Algorithms 50 (2017), 636–678. https://doi.org/10.1002/rsa.20671
C. Külske, U.A. Rozikov, and R.M. Khakimov, Description of all translationinvariant splitting Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree, J. Stat. Phys. 156 (2014), 189–200. https://doi.org/10.1007/s10955-014-0986-y
F. Martinelli, A. Sinclair, and D. Weitz, Fast mixing for independent sets, coloring and other models on trees, Random Structures and Algoritms 31 (2007), 134–172. https://doi.org/10.1002/rsa.20132
V.V. Prasolov, Polynomials, Algorithms and Computation in Mathematics, 11, Springer-Verlag, Berlin, 2004. https://doi.org/10.1007/978-3-642-03980-5
C.J. Preston, Gibbs States on Countable Sets, Cambridge Tracts Math., No. 68, Cambridge Univ. Press, London-New York, 1974. https://doi.org/10.1017/CBO9780511897122
U.A. Rozikov, Gibbs Measures on Cayley Trees, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2013. https://doi.org/10.1142/8841
U.A. Rozikov and R.M. Khakimov, Gibbs measures for the fertile three-state hard core models on a Cayley tree, Queueing Syst. 81(1) (2015), 49–69. https://doi.org/10.1007/s11134-015-9450-1
Ya.G. Sinai, Theory of Phase Transitions: Rigorous Results, Nauka, Moscow (1980) (Russian); Engl. transl.: International Series in Natural Philosophy, 108, Pergamon Press, Oxford-Elmsford, N.Y., 1982.
P.E. Theodorakis and N.J. Fytas, Monte Carlo study of the triangular Blume–Capel model under bond randomness, Phys. Rev. E 86 (2012), 011140. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.86.011140
