Some Non-Trivial and Non-Gradient Closed Pseudo-Riemannian Steady Ricci Solitons
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.04.526Анотація
У статті вивчається рівняння солітона Річчі на компактних $3$-вимірних незвідних лоренцевих многовидах, що допускають паралельне світлоподібне векторне поле із замкнутими орбітами. Ці компактні структури, які є геодезично повними, допускають нетривіальні, тобто не ейнштейнові та неградієнтні, стаціонарні солітони Річчі з нульовою скалярною кривизною, які показують різницю між замкнутими рімановими та псевдо-рімановими солітонами Річчі. Асоційоване потенційне векторне поле солітонної структури Річчі у всіх випадках, які ми будуємо на цих многовидах, є простороподібним векторним полем. Однак ми показуємо, що є приклади замкнутих псевдо-ріманових стійких солітонів Річчі в нейтральній сигнатурі $(2,2)$ з нульовою скалярною кривиною, такі, що асоційоване потенційне векторне поле може бути часоподібним чи нульовим. Ці компактні многовиди також геодезично повні і не допускають конформне кілінгове векторне поле.Mathematics Subject Classification: 53C50,58J99,35R01.
Ключові слова:
солітони Річчі, замкнуті псевдоріманові многовиди, паралельне світлоподібне векторне поле.Посилання
M.M. Akbar and E. Woolgar, Ricci solitons and Einstein-scalar field theory, Classical Quantum Gravity 26 (2009), No. 5, 055015. https://doi.org/10.1088/0264-9381/26/5/055015
C. Boubel and P. Mounoud, Affine transformations and parallel lightlike vector fields on compact Lorentzian 3-manifolds, Trans. Amer. Math. Soc. 368 (2016), 2223–2262. https://doi.org/10.1090/tran/6645
E. Calviño-Louzao, E. Garcı́a-Rı́o, P. Gilkey, J.H. Park, and R. Vázquez-Lorenzo, Aspects of Differential Geometry, III, Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics, Morgan and Claypool Publishers, 2017.
H.D. Cao, Recent progress on Ricci solitons, Recent advances in geometric analysis, Adv. Lect. Math. (ALM), 11, Int. Press, Somerville, MA, 2010, 1–38.
S.F. Ellermeyer and D.G. Robinson, Integrals of periodic functions, Math. Mag. 74 (2001), 393–396. https://doi.org/10.2307/2691036
M. Eminenti, G. La Nave, and C. Mantegazza, Ricci solitons: the equation point of view, Manuscr. Math. 127 (2008), 345–367 . https://doi.org/10.1007/s00229-008-0210-y
S. Gavino-Fernández, The geometry of Lorentzian Ricci solitons, Ph.D. thesis, Universidade de Santiago de Compostela, 2012, http://www.tesisenred.net/handle/ 10803/84770.
R.S. Hamilton, The Ricci flow on surfaces, Contemp. Math. 71 (1988), 237–262. https://doi.org/10.1090/conm/071/954419
R.S. Hamilton, Three manifolds with positive Ricci curvature, J. Differ. Geom. 17 (1982), 255–306. https://doi.org/10.4310/jdg/1214436922
M. Jamreh and M. Nadjafikhah, Closed pseudo-Riemannian Ricci solitons, J. Math. Phys. 58 (2017), no. 10, 101505. https://doi.org/10.1063/1.5004976
T. Leistner and D. Schliebner, Completeness of compact Lorentzian manifolds with special holonomy, Math. Ann. 364 (2016), 1469–1503. https://doi.org/10.1007/s00208-015-1270-4
J. Morgan and G. Tian, Ricci Flow and the Poincaré Conjecture, Clay Mathematics Monographs, 3, Ame. Math. Soc., Providence, RI; Clay Mathematics Institute, Cambridge, MA, 2007.
B. O’Neill, Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity, Pure and Applied Mathematics, 103, Academic Press, New York, 1983.
M. Sánchez, An Introduction to the Completeness of Compact Semi-Riemannian Manifolds, Sémin. Théor. Spectr. Géom., 13, Univ. Grenoble I, Saint-Martind’Hères, 1995, 37–53. https://doi.org/10.5802/tsg.150
S.E. Stepanov and V.N. Shelepova, A remark on Ricci solitons, Mat. Zametki 86 (2009), 474–477 (Russian); Engl. transl.: Math. Notes 86 (2009), 447–450. https://doi.org/10.4213/mzm8508
