Biharmonic Hopf Hypersurfaces of Complex Euclidean Space and Odd Dimensional Sphere
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag16.02.161Анотація
У статті розглядаються бігармонічні гіперповерхні Хопфа в комплексному евклідовому просторі $C^{n+1}$ і на непарновимірній сфері $S^{2n+1}$. Доведено, що бігармонічні гіперповерхні Хопфа в $C^{n+1}$ є мінімальними. Також показано, що якщо градієнт середньої кривини належить до $D^\perp$, то оператор Вейнгартена $A$ бігармонічної псевдо-хопфової гіперповерхні на одиничній сфері $S^{2n+1}$ має тільки дві різні головні кривини в кожній точці і, таким чином, гіперповерхня є відкритою частиною гіперповерхні Кліффорда $S^{n_1}(1/\sqrt{2})\times S^{n_2} (1/\sqrt{2})$, де $n_1 + n_2 =2n$.Mathematics Subject Classification: 53A10, 53C42
Ключові слова:
бігармонічні гіперповерхні, гіперповерхні Хопфа, гіпотеза ЧенаПосилання
E. Abedi and M. Ilmakchi, Hopf Hypersurfaces in the complex projective space and the Sasakian space form, TWMS J. Pure Appl. Math. (2016), 34–45.
K. Akutagawa and S. Maeta, Biharmonic properly immersed submanifolds in Euclidean spaces, Geom. Dedicata 164 (2013), 351–355. https://doi.org/10.1007/s10711-012-9778-1
A. Balmus, S. Montaldo, and C. Oniciuc, Classifcation results for biharmonic submanifolds in spheres, Israel J. Math. 168 (2008), 201–220. https://doi.org/10.1007/s11856-008-1064-4
A. Balmus and C. Oniciuc, Biharmonic submanifolds with parallel mean curvature vector field in spheres, J. Math. Anal. Appl. 386 (2012), 619–630. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.08.019
B.Y. Chen, Total Mean Curvature and Submanifolds of Finite Type, World Scientific, New Jersey, 2014. https://doi.org/10.1142/9237
B.Y. Chen, Some open problems and conjectures on submanifolds of finite type, Soochow J. Math. 17 (1991), No. 2, 169–188.
I. Dimittric, submanifolds of E m with harmonic mean curvature vector, Bull. Inst. Math. Acad. Sin. 20 (1992), 53–65.
M. Djoric, M. Okumara, CR Submanifolds of Complex Projective Space, SpringerVerlag, Berlin, 2009. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0434-8
J. Eells, L. Lemaire, Selected topics in harmonic maps, CBMS, Amer. Math. Soc, 50, 1983. https://doi.org/10.1090/cbms/050
J. Eells, J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math. 86 (1964), 109–160. https://doi.org/10.2307/2373037
G.Y. Jiang, 2-Harmonic map and their first and second variational formulas, Chinese Ann. Math. Ser. A 7 (1986), No. 4, 389–402.
T. Hasanis, T. Vluchos, Hypersurfaces in E 4 with harmonic mean curvature vector field, Math. Nachr. 172 (1995), 145–169. https://doi.org/10.1002/mana.19951720112
Yu Fu and M. Chunhong, Biharmonic hypersurface with constant scalar curvature in space forms, Pacific J. Math. 294 (2018), No. 2, 329–350 . https://doi.org/10.2140/pjm.2018.294.329
Yu Fu, Biharmonic hypersurface with three distinct principle curvatures in spheres, Math. Nachr. 288 (2015), 763–774. https://doi.org/10.1002/mana.201400101
Yu Fu, Biharmonic hypersurface with three distinct principle curvatures in Euclidean 5-space, J. Geom. Phys. 75 (2014), 113–119. https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2013.09.004
Yu Fu, Biharmonic hypersurface with three distinct principle curvatures in Euclidean space, Tohoku Math. J.(2015), 465–479. https://doi.org/10.2748/tmj/1446818561
P.J. Ryan. Homogeneity and some curvature conditions for hypersurfaces, Tohoku Math. J. 21 (1969), No. 2, 363–388. https://doi.org/10.2748/tmj/1178242949
Shukichi Tanno, Sasakiam manifolds with constant ϕ−holomorphic sectional curvature, Tohoku. Math. Jurn. 21 (1969), 501–507. https://doi.org/10.2748/tmj/1178242960
