Fractional Derivatives with Respect to Time for Non-Classical Heat Problem
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag17.01.030Анотація
Розглядається некласичне рівняння теплопровідності з дробовою похідною Капуто за часовою змінною в обмеженій області $ \Omega\subset\mathbb {R}^{+} \times \mathbb {R}^{d-1} $, для якого постачання енергії залежить від теплового потоку на частині межі $ S = \{0 \} \times \mathbb {R}^{d-1} $ з однорідною граничною умовою Діріхле на $ S $, періодичністю на інших частинах границі та початковою умовою. Задача мотивована моделюванням регулювання температури в середовищі. Існування розв'язку задачі базується на інтегралі Вольтерра другого роду за часовою змінною $ t $ з параметром в $ \mathbb {R} ^ {d-1} $, її розв'язком є тепловий потік $ (y, \tau) \mapsto V (y, t) = u_ {x} (0, y, t) $ на $ S $, що також є додатковим невідомим задачі, що розглядається. Установлено, що існує єдиний локальний розв'язок, який можна продовжити глобально у часі.Mathematics Subject Classification: 26A33, 34A08, 34A12, 34B15, 35K05, 45D05
Ключові слова:
некласичне d-вимірне рівняння теплопровідності, дробова похідна Капуто, інтегральне рівняння Вольтерра, існування та єдність розв'язку задачі, інтегральне зображення розв'язкуПосилання
M. Boukrouche and D. Tarzia, Global solution to a non-classical heat problem in the semi-space R+ × Rn−1 , Q. Appl. Math. 72 (2014), 347–361. https://doi.org/10.1090/S0033-569X-2014-01344-1
M. Benchohra and S. Abbas, Advanced Functional Evolution Equations and Inclusions, Developments in Mathematics, 39, Springer International Publishing, 2015.
S. Abbas, M. Benchohra, and G.M. N’Guérékata, Topics in Fractional Differential Equations, Developments in Mathematics, 27, Springer International Publishing, 2012. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-4036-9_3
K. Diethelm and A.D. Freed, On the solution of nonlinear fractional order differential equations used in the modeling of viscoplasticity, Scientifice Computing in Chemical Engineering II-Computational Fluid Dynamics, Reaction Engineering and Molecular Properties (Eds F. Keil, W. Mackens, H. Voss, and J. Werther, Eds), SpringerVerlag, Heidelberg, 1999, 217–224, https://doi.org/10.1007/978-3-642-60185-9_24
Mahmoud M. El-Borai, Some probability densities and fundamental solutions of fractional evolution equations, Chaos. Solitons. Fract. 14 (2002), 433–440 https://doi.org/10.1016/S0960-0779(01)00208-9
Avner Friedman, Partial Differential Equations of Parabolic Type, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1964.
M. Frigon and A. Granas, Résultats de type Leray–Schauder pour des contractions sur des espaces de Fréchet, Ann. Sci. Math. Quebec 22 (1998), 161–168.
W.G. Glockle and T.F. Nonnenmacher, A fractional calculus approach of selfsimilar protein dynamics, Biophys. J. 68 (1995), 46–53. https://doi.org/10.1016/S0006-3495(95)80157-8
A. Granas and J. Dugundji, Fixed Point Theory, Springer-Verlag, New York, 2003. https://doi.org/10.1007/978-0-387-21593-8
R. Hilfer, Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore, 2000. https://doi.org/10.1142/3779
N. Heymans and I. Podlubny, Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann–Liouville fractional derivatives, Rheol. Acta 45 (2006), 765–772. https://doi.org/10.1007/s00397-005-0043-5
A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, and J. J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006.
F. Mainardi, Fractional Calculus and waves in viscoelasticity, Imperial College Press, London, 2010. https://doi.org/10.1142/p614
F. Metzler, W. Schick, H.G. Kilian, and T.F. Nonnenmacher, Relaxation in filled polymers: A fractional calculus approach, J. Chem. Phys. 103 (1995), 7180–7186. https://doi.org/10.1063/1.470346
Richard K. Miller, Nonlinear Volterra integral equations, Mathematics Lecture Note Series, 48, W. A. Benjamin, Inc., Menlo Park, Calif., 1971.
I. Podlubny, Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation, Fract. Calc. Appl. Anal. 5 (2002), 367–386.
N.N. Salva, D.A. Tarzia, and L.T. Villa, An initial-boundary value problem for the one-dimensional non-classical heat equation in a slab, Bound. Value. Probl. 2011 2011:4. https://doi.org/10.1186/1687-2770-2011-4
