On the CLT for Linear Eigenvalue Statistics of a Tensor Model of Sample Covariance Matrices - Dembczak-Kołodziejczyk, Alicja; Lytova, Anna (Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії, 2023)
В [18] було доведено центральну граничну теорему (ЦГТ) для лiнiйних статистик власних значень Tr φ(M_n) вибiркових коварiацiйних матриць M_n=_α=1^m y_α^(1) y_α^(2)(y_α^(1) y_α^(2))^T, де (y_α^(1), y_α^(2))_α є незалежними копiями вектора yR^n , що задовольняє умови E yy^T=n^-1 I_n, E y^2_iy^2_j(1+δ_ijd)n^-2+a(1+δ_ijd_1)n^-3+O(n^-4) для деяких a, d,d_1R. Було показано, що для достатньо гладких тестових функцiй φ маємо Var Tr φ(M_n)=O(n), коли m, n→∞ , m/n^2→ c>0, крiм того (Tr φ(M_n)-E Tr φ(M_n))/n збiгається за розподiлом до гаусiвської випадкової величини з нульовим середнiм та дисперсiєю V[φ] пропорцiйною a+d. Зокрема, якщо y рiвномiрно розподiлено на одиничнiй сферi, то a+d=0 i V[φ]. У цiй роботi ми показуємо, що в цьому випадку Var Tr(M_n-zI_n)^-1=O(1), так що ЦГТ має бути справедливою для самих лiнiйних статистик власних значень без нормалiзувального коефiцiєнта (на вiдмiну вiд випадку вiдповiдних гаусiвських вибiркових коварiацiйних матриць). Mathematical Subject Classification 2020: 60B12, 60B20, 60F05, 47A75