On Hilbert–Schmidt Frames for Operators and Riesz Bases
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag19.03.799Анотація
Стійкий аналіз і реконструкцію векторів у замкнених підпросторах гільбертових просторів можна вивчати за допомогою фреймових умов за типом Гурвіти, які пов'язані з поняттям атомарних систем у сепарабельних гільбертових просторах. У цій роботі спочатку ми надаємо фреймові умови за типом Гурвіти для класу операторів Гільберта-Шмідта (коротко, клас $\mathcal{C}_2$), де обмежений лінійний оператор контролює нижню фреймову умову. Ми обговорюємо відображення, що зберігають фрейм для фреймів Гільберта-Шмідта для підпросторів сепарабельного гільбертового простору. Встановлюємо існування фреймів Гільберта-Шмідта для підпросторів класу Гільберта-Шмідта $\mathcal{C}_2$. Показано, що кожен сепарабельний гільбертовий простір допускає фрейм Гільберта-Шмідта відносно даного сепарабельного гільбертового простору. Отримано необхідні та достатні умови для фреймових умов за типом Гурвіти для сум фреймів Гільберта-Шмідта для підпросторів. Нарешті, ми обговорюємо базиси Гільберта-Шмідта Ріса в сепарабельних гільбертових просторах.
Mathematical Subject Classification 2020: 42C15, 42C30, 42C40, 43A32
Ключові слова:
фрейми, фрейми Гільберта-Шмідта, К-фрейми, збуренняПосилання
A. Aldroubi, Portraits of frames, Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), No. 6, 1661--1668. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1995-1242070-5
A. Aldroubi, C. Cabrelli, A. F. Cakmak, U. Molter, and A. Petrosyan, Iterative actions of normal operators, J. Funct. Anal. 272 (2017), No. 3, 1121--1146. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2016.10.027
P. Balazs, Hilbert-Schmidt operators and frames-classification, best approximation by multipliers and algorithms, Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process. 6 (2008), No. 2, 315--330. https://doi.org/10.1142/S0219691308002379
G. Bhatt, B.D. Johnson, and E. Weber, Orthogonal wavelet frames and vector-valued wavelet transforms, Appl. Comput. Harmon. Anal. 23 (2007), 215--234. https://doi.org/10.1016/j.acha.2007.01.002
P.G. Casazza and G. Kutyniok, Finite frames: Theory and Applications, Birkhäuser, New York, 2013. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-8373-3
J. Cahill and P.G. Casazza, The Paulsen problem in operator theory, Oper. Matrices 7 (2013), No. 1, 117--130. https://doi.org/10.7153/oam-07-06
O. Christensen, An Introduction to Frames and Riesz Bases, 2$^{nd}$ ed., Birkhäuser, Boston, 2016. https://doi.org/10.1007/978-3-319-25613-9
Deepshikha, L. K. Vashisht, and G. Verma, Generalized weaving frames for operators in Hilbert spaces, Results Math. 72 (2017), No. 3, 1369--1391. https://doi.org/10.1007/s00025-017-0704-6
Deepshikha and L. K. Vashisht, Weaving $K$-frames in Hilbert spaces, Results Math. 73 (2018), No. 2, 81. https://doi.org/10.1007/s00025-018-0843-4
D.-X. Ding, Generalized continuous frames constructed by using an iterated function system, J. Geom. Phys. 61 (2011), 1045--1050. https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2011.02.006
R.G. Douglas, On majorization, factorization, and range inclusion of operators on Hilbert space, Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), No. 2, 413--415. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1966-0203464-1
R.J. Duffin and A.C. Schaeffer, A class of nonharmonic Fourier series, Trans. Amer. Math. Soc. 72 (1952), 341--366. https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1952-0047179-6
L. Gǎvruta, Frames for operators, Appl. Compu. Harmon. Anal. 32 (2012), 139--144. https://doi.org/10.1016/j.acha.2011.07.006
D. Han and D.R. Larson, Frames, bases and group representations, Mem. Amer. Math. Soc., 147 , Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.
C. Heil, A Basis Theory Primer, (Expanded ed.), Birkhäuser, New York, 2011. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4687-5
Jyoti and L.K. Vashisht, $K$-Matrix-valued wave packet frames in $L^2(R^d, C^{s×r})$, Math. Phys. Anal. Geom. 21 (2018), No. 3, 21. https://doi.org/10.1007/s11040-018-9280-6
Jyoti, L.K. Vashisht, and G. Verma, Operators related to the reconstruction property in Banach spaces, Results Math. 74 (2019), No. 3, 125. https://doi.org/10.1007/s00025-019-1050-7
Jyoti and L.K. Vashisht, On matrix-valued wave packet frames in $L^2(R^d, C^{s×r})$, Anal. Math. Phys. 10 (2020), No. 4, 66. https://doi.org/10.1007/s13324-020-00417-9
T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2$^{nd}$ ed., Springer-Verlag, New York, 1976.
Y.Y. Koo and J.K. Lim, Schatten-class operators and frames, Quaest. Math. 34 (2011), 203--211. https://doi.org/10.2989/16073606.2011.594235
G. Sadeghi and, A. Arefijamaal, Von Neumann-Schatten frames in separable Banach spaces, Mediterr. J. Math. 9 (2012), 525--535. https://doi.org/10.1007/s00009-011-0132-x
R. Schatten, Norm Ideals of Completely Continious Operators, Springer, Berlin-Heidelberg, 1960. https://doi.org/10.1007/978-3-642-87652-3
B. Simon, Trace Ideals and their Applications, 2$^{nd}$ ed., Mathematical Surveys and Monographs, 120. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
W. Sun, $G$-frames and $g$-Riesz bases, J. Math. Anal. Appl. 322 (2006), No. 1, 437--452. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.09.039
W. Sun, Stability of $g$-frames, J. Math. Anal. Appl. 326 (2007), No. 2, 858--868. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.03.043
L.K. Vashisht and Deepshikha, Weaving properties of generalized continuous frames generated by an iterated function system, J. Geom. Phys. 110 (2016), 282--295. https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2016.08.009
X. Xiao, Y. Zhu, and L. Gǎvruta, Some properties of $K$-frames in Hilbert spaces, Results Math. 63 (2013), No. 3-4, 1243--1255. https://doi.org/10.1007/s00025-012-0266-6
W. Zhang, Dual and approximately dual Hilbert-Schmidt frames in Hilbert spaces, Results Math. 73 (2018), 4. https://doi.org/10.1007/s00025-018-0793-x
