Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Plane Controlled by the Neumann Boundary Condition with a Point-Wise Control

Анотація

У роботі досліджено проблеми керованості та наближеної керованості для керованої системи $w_t=\Delta w$, $w_{x_1}(0,x_2,t)=u(t)\delta(x_2)$, $x_1>0$, $x_2\in\mathbb R$, $t\in(0,T)$, де $u\in L^\infty(0,T)$ є керуванням. Для цього досліджено множину $\mathcal{R}_T(0)\subset L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ її кінцевих станів, які є досяжними з 0. Установлено, що функція $f\in\mathcal{R}_T(0)$ може бути подана у вигляді $f(x)=g\big(|x|^2\big)$ м.с. в $(0,+\infty)\times\mathbb R$, де $g\in L^2(0,+\infty)$. Фактично, ми зводимо задачу для функцій з $L^2((0,+\infty)\times\mathbb R)$ до задачі для функцій з $L^2(0,+\infty)$. Необхідну і достатню умову керованості та достатню умову наближеної керованості за заданий час $T$ за допомогою керувань $u$, обмежених заданою сталою, одержано в термінах розв'язності степеневої проблеми моментів Маркова. Застосовуючи функції Лаґерра (які утворюють ортонормований базис в $L^2(0,+\infty)$), одержано необхідні і достатні умови наближеної керованості та числові розв'язки проблеми наближеної керованості. Також показано, що не існує ненульового початкового стану системи, який був би нуль керованим за заданий час $T$. Результати проілюстровано прикладами.

Mathematical Subject Classification 2020: 93B05, 35K05, 35B30