Reachability and Controllability Problems for the Heat Equation on a Half-Axis
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag15.01.057Анотація
У роботі досліджено проблеми керованості, наближеної керованості, досяжності та наближеної досяжності для керованої системи $w_t=w_{xx}$, $w(0,\cdot)=u$, $x>0$, $t\in(0,T)$, де $u\in L^\infty(0,T)$ є керуванням. Доведено, що кожний кінцевий стан цієї системи є наближено досяжним за заданий час $T$, та кожний її початковий стан є наближено керованим за заданий час $T$. Одержано необхідну і достатню умову досяжності за заданий час $T$ в термінах розв'язності степеневої проблеми моментів Маркова. Показано також, що не існує початкових даних, які є нуль керованими за заданий час $T$. Результати проілюстровано прикладами.Mathematics Subject Classification: 93B05, 35K05, 35B30.
Ключові слова:
рівняння теплопровідності, керованість, наближена керованість, досяжність, наближена досяжність, степенева проблема моментів Маркова.Посилання
V.R. Cabanillas, S.B. De Menezes, and E. Zuazua, Null controllability in unbounded domains for the semilinear heat equation with nonlinearities involving gradient terms, J. Optim. Theory Appl. 110 (2001), 245–264. https://doi.org/10.1023/A:1017515027783
P. Cannarsa, P. Martinez, and J. Vancostenoble, Null controllability of the heat equation in unbounded domains by a finite measure control region, ESAIM Control Optim. Calc. Var. 10 (2004), 381–408. https://doi.org/10.1051/cocv:2004010
J. Darde and S. Ervedoza, On the reachable set for the one-dimensional heat equation, SIAM J. Control Optim. 56 (2018), 1692–1715. https://doi.org/10.1137/16M1093215
L.V. Fardigola, Transformation Operators and Influence Operators in Control Problems, Thesis (Dr. Hab.), Kharkiv, 2016 (Ukrainian).
S.G. Gindikin and L.R. Volevich, Distributions and Convolution Equations, Gordon and Breach Sci. Publ., Philadelphia, 1992.
L. Gosse and O. Runberg, Resolution of the finite Markov moment problem, Comptes Rendus Mathematiques, 341 (2005), 775–789. https://doi.org/10.1016/j.crma.2005.10.009
Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables, Eds. M. Abramowitz and I.A. Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55, Washington, DC, 1972.
S. Micu and E. Zuazua, On the lack of null controllability of the heat equation on the half-space, Port. Math. (N.S.) 58 (2001), No. 1, 1–24.
S. Micu and E. Zuazua, On the lack of null controllability of the heat equation on the half-line, Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001), No. 4, 1635–1659.
A. Munch and P. Pedregal, Numerical null controllability of the heat equation through a least squares and variational approach, European J. Appl. Math. 25 (2014), 277–306. https://doi.org/10.1017/S0956792514000023
L. de Teresa and E. Zuazua, Approximate controllability of a semilinear heat equation in unbounded domains, Nonlinear Anal. 37 (1999), No. 8, 1059–1090.
E. Zuazua, Some problems and results on the controllability of partial differential equations, Proceedings of the Second European Congress of Mathematics, Budapest, July 1996, Progress in Mathematics, 169, Birkhäuser Verlag, Basel, 276–311.
