Optimality of Estimates for the Width of Support Layers of the Isoperimetrix in the Minkowski Geometry

Анотація

Доведено необхідні й достатні умови, яким повинна задовольняти одинична куля $B$ простору Мінковського за Г. Буземаном, щоб оцінки
\begin{align*}
&\Delta_B\left(Q_I(\overline u)\right)\geq\frac{4v_{n-1}}{nv_n},&&\Delta_B(I)\geq\frac{4v_{n-1}}{nv_n},\qquad q(I,B)\geq\frac{2v_{n-1}}{nv_n},\\
&\Delta_B\left(Q_I(\overline u)\right)\leq\frac{4v_{n-1}}{v_n},&& D_B(I)\leq\frac{4v_{n-1}}{v_n},\qquad Q(I,B)\leq\frac{2v_{n-1}}{v_n}
\end{align*}
перетворювалися в рівності.

Для кожної з цих оцінок таке $B$ існує, отже, усі оцінки є точними. У цих оцінках $\Delta_B\left(Q_I(\overline u)\right)$ – ширина опорного шару, ортогонального вектору $\overline u$ ізопериметрикса $I$, $\Delta_B(I)$ – ширина $I$, $D_B(I)$ – діаметр $I$ в $M^n$, $q(I,B)$ - коефіцієнт місткості $B$ в $I$, $Q(I,B)$ – коефіцієнт охоплення $I$ в $B$. У [5, p. 196] також було отримано оцінки $q(I,B)\geq\frac{2v_{n-1}}{nv_n}$, $Q(I,B)\leq\frac{2v_{n-1}}{v_n}$. Як показано в зауваженні 3, твердження про їх точність у [5, p. 196] відрізняються від тверджень про їх точність у даній роботі.

Mathematics Subject Classification: 52A38, 52A40.