Modified Sobolev Spaces in Controllability Problems for the Wave Equation on a Half-Plane
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag11.01.018Анотація
Двовимірне хвильове рівняння $w_{tt}=\Delta(w), t\in (0,T)$, на півплощині $x_1>0$, яке кероване крайовою умовою Неймана $w_{x_1}(0,x_2,t)=\delta(x_2)u(t)$, досліджено в просторах Соболєва, де $T$ — деяка додатна стала, а $u\in L^\infty(0,T)$ — керування. Цю керовану систему трансформовано в керовану систему для одновимірного хвильового рівняння в модифікованих просторах Соболєва, що введено та вивчено в роботі, і які відіграють головну роль у дослідженні. Для одновимірної задачі керування одержано необхідні й достатні умови (наближеної) $L^\infty$-керованості. Також доведено, що двовимірна керована система відтворює властивості керованості одновимірної керованої системи і навпаки. Нарешті, необхідні й достатні умови (наближеної) $L^\infty$-керованості одержано для двовимірної задачі керування.
Mathematics Subject Classification: 93B05, 35B37, 35L05.
Ключові слова:
простір Соболєва, хвильове рівняння, півплощина, проблема керованості, крайове керування типу НейманаПосилання
P. Antosik, J. Mikusiński, and R. Sikorski, Theory of Distributions. The Sequential Approach, Elsevier, Amsterdam, 1973.
M.I. Belishev and A.F. Vakulenko, On a Control Problem for the Wave Equation in R3 . — Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI 332 (2006), 19–37. (Russian). (Engl. transl.: J. Math. Sci. 142 (2007), 2528–2539.)
L.V. Fardigola, On Controllability Problems for the Wave Equation on a Half-Plane. — J. Math. Phys., Anal., Geom. 1 (2005), 93–115.
L.V. Fardigola, Controllability Problems for the String Equation on a Half-Axis with a Boundary Control Bounded by a Hard Constant. — SIAM J. Control Optim. 47 (2008), 2179–2199. https://doi.org/10.1137/070684057
L.V. Fardigola, Neumann Boundary Control Problem for the String Equation on a Half-Axis. — Dopovidi Natsionalnoi Akademii Nauk Ukrainy (2009), No. 10, 36–41. (Ukrainian)
L.V. Fardigola, Controllability Problems for the 1-d Wave Equation on a Half-Axis with the Dirichlet Boundary Control. — ESAIM: Control, Optim. Calc. Var. 18 (2012), 748–773. https://doi.org/10.1051/cocv/2011169
L.V. Fardigola, Transformation Operators of the Sturm–Liouville Problem in Controllability Problems for the Wave Equation on a Half-Axis. — SIAM J. Control Optim. 51 (2013), 1781–1801. https://doi.org/10.1137/110858318
L.V. Fardigola and K.S. Khalina, Controllability Problems for the Wave Equation. — Ukr. Mat. Zh. 59 (2007), 939–952. (Ukrainian). (Engl. transl.: Ukr. Math. J. 59 (2007), 1040–1058.)
I.M. Gelfand and G.E. Shilov, Generalized Functions. Vol. 2. Fismatgiz, Moscow, 1958. (Russian)
S.G. Gindikin and L.R. Volevich, Distributions and Convolution Equations. Gordon and Breach, Philadelphia, 1992.
M. Gugat, Optimal Switching Boundary Control of a String to Rest in Finite Time. — ZAMM Angew. Math. Mech. 88 (2008), 283–305. https://doi.org/10.1002/zamm.200700154
M. Gugat and G. Leugering, L∞ -norm Minimal Control of the Wave Equation: on the Weakness of the Bang-Bang Principle. — ESAIM: Control, Optim. Calc. Var. 14 (2008), 254–283. https://doi.org/10.1051/cocv:2007044
M. Gugat, G. Leugering, and G. Sklyar, Lp -optimal Boundary Control for the Wave Equation. — SIAM J. Control Optim. 44 (2005), 49–74. https://doi.org/10.1137/S0363012903419212
V.A. Il’in and E.I. Moiseev, A Boundary Control at Two Ends by a Process Described by the Telegraph Equation. — Dokl. Akad. Nauk, Ross. Akad. Nauk 394 (2004) No. 2, 154–158. (Russian). (Engl. transl.: Doklady Mathematics, 69 (2004) No. 1, 33–37.)
K.S. Khalina Boundary Control Problems for the Equation of Vibrating of Nonhomogeneous String on a Half-Axis. — Ukr. Mat. Zh. 64 (2012) No. 4, 525–541.
K.S. Khalina On the Neumann Boundary Controllability for the Non-homogeneous String on a Half-Axis. — J. Math. Phys., Anal., Geom. 8 (2012) No. 4, 307–335.
G.M. Sklyar and L.V. Fardigola, The Markov Power Moment Problem in Problems of Controllability and Frequency Extinguishing for the Wave Equation on a HalfAxis. — J. Math. Anal. Appl. 276 (2002), 109–134. https://doi.org/10.1016/S0022-247X(02)00380-3
J. Vancostenoble and E. Zuazua, Hardy Inequalities, Observability, and Control for the Wave and Schrödinger Equations with Singular Potentials. — SIAM J. Math. Anal. 41 (2009), 1508–1532. https://doi.org/10.1137/080731396
V.S. Vladimirov, Equations of Mathematical Physics. Mir, Moscow, 1984.
