The Extended Leibniz Rule and Related Equations in the Space of Rapidly Decreasing Functions
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag14.03.336Анотація
Ми розв'язуємо узагальнене правило Лейбниця $T(f\cdot g)=Tf \cdot Ag+Af\cdot Tg$ для операторів $T$ та $A$ у просторі швидко спадних функцій, як у випадку комплекснозначних функцій, так і у випадку дійснозначних функцій. Ми встановлюємо, що $T$ може бути лінійною комбінацією логарифмічних похідних $f$ та її комплексного спряження $\overline{f }$ до порядків $m$ і $n$ відповідно з гладкими коефіцієнтами та $Af=f^{m}\cdot \overline{f}{}^{n} $. В інших випадках $Tf$ та $Af$ можуть містити окремо дійсну та уявну частину $f$. У деякому сенсі з цього рівняння випливає сукупна характерізація похідних та перетворення Фур'є $f$. Ми обговорюємо умови, за яких $T$ є похідною, а $A$ є тотожністю. Ми також розглядаємо диференційовні розв'язки функціональних рівнянь, які нагадують рівняння для синуса та косинуса.
Mathematics Subject Classification: 39B42, 47A62, 26A24.
Ключові слова:
швидко спаднi функцiї, узагальнене правило Лейбниця, перетворення Фур'єПосилання
J. Aczél, Lectures on Functional Equations and Their Applications, Academic Press, 1966.
S. Alesker, S. Artstein-Avidan, D. Faifman, and V. Milman, A characterization of product preserving maps with applications to a characterization of the Fourier transform, Illinois J. Math. 54 (2010), 1115–1132.
S. Alesker, S. Artstein-Avidan, and V. Milman, A characterization of the Fourier transform and related topics, in: A. Alexandrov et al. (eds), Linear and complex analysis, Dedicated to V.P. Havin, Amer. Math. Soc. Transl. 226, Advances in the Math. Sciences 63 (2009), 11–26.
S. Artstein-Avidan, D. Faifman, and V. Milman, On multiplicative maps of continuous and smooth functions, Geometric Aspects of Functional Analysis, Lecture Notes in Math., 2050, Springer, Heidelberg, 2012, 35–59.
S. Artstein-Avidan, H. König, and V. Milman, The chain rule as a functional equation, J. Funct. Anal. 259 (2010), 2999–3024. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2010.07.002
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, I. Distribution Theory and Fourier Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1983.
H. König and V. Milman, Characterizing the derivative and the entropy function by the Leibniz rule, with an appendix by D. Faifman, J. Funct. Anal. 261 (2011), 1325–1344. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2011.05.003
A.N. Milgram, Multiplicative semigroups of continuous functions, Duke Math. J. 16 (1949), 377–383. https://doi.org/10.1215/S0012-7094-49-01638-5
J. Mrčun, On isomorphisms of algebras of smooth functions, Proc. Amer. Math. Soc. 133 (2005), 3109–3113. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-05-07979-7
J. Mrčun and P. Šemrl, Multplicative bijections between algebras of differentiable functions, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 32 (2007), 471–480.
E. Shustin, private communication.
M. Sodin, private communication.
