Novel View on Classical Convexity Theory
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag16.03.291Анотація
Нехай $B_{x}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ є евклідовою кулею діаметру $[0,x]$, тобто кулею з центром в $\frac{x}{2}$ та радіусом $\frac{\left|x\right|}{2}$. Будемо називати цю кулю пелюсткою. Будь-яке об'єднання пелюсток є квіткою $F$, тобто $F=\bigcup_{x\in A}B_{x}$ для будь-якої множини $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$. Раніше ми показали в [9], що сім'я всіх квіток $\mathcal{F}$ знаходиться в 1-1 відповідності з $\mathcal{K}_{0}$ - сім'єю усіх опуклих тіл, які містять $0$. Фактично існують дві такі істотно різні відповідності. Ми демонструємо низку різних нелінійних конструкцій $\mathcal{F}$ та $\mathcal{K}_{0}$. Для цього ми розвиваємо теорію квіток.Mathematics Subject Classification: 52A20, 52A30, 52A23
Ключові слова:
опуклі тіла, квітки, сферична інверсія, дуальність, степені, теорема ДворецькогоПосилання
S. Artstein-Avidan, A. Giannopoulos, and V. Milman, Asymptotic Geometric Analysis, Part I, Mathematical Surveys and Monographs, 202, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015. https://doi.org/10.1090/surv/202
S. Artstein-Avidan and V. Milman, The concept of duality for measure projections of convex bodies, J. Funct. Anal. 254 (2008), 2648–2666. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2007.11.008
T. Bonnesen and W. Fenchel, Theory of Convex Bodies, BCS Associates, Moscow, Idaho, 1987.
K.J. Böröczky, E. Lutwak, D. Yang, and G. Zhang, The log-Brunn-Minkowski inequality, Adv. Math. 231 (2012), 1974–1997. https://doi.org/10.1016/j.aim.2012.07.015
J. Bourgain, J. Lindenstrauss, and V. Milman, Minkowski sums and symmetrizations, Geometric Aspects of Functional Analysis (Eds. J. Lindenstrauss and V. Milman), Israel Seminar 1986–1987, Lecture Notes in Mathematics, 1317, Springer, Berlin-Heidelberg, 1988, 44–66. https://doi.org/10.1007/BFb0081735
J. Bourgain, J. Lindenstrauss, and V. Milman, Approximation of zonoids by zonotopes, Acta Math. 162 (1989), 73–141. https://doi.org/10.1007/BF02392835
T. Figiel, J. Lindenstrauss, and V. Milman, The dimension of almost spherical sections of convex bodies, Acta Math. 139 (1977), 53–94. https://doi.org/10.1007/BF02392234
B.S. Kashin, Diameters of some finite-dimensional sets and classes of smooth functions, Mathematics of the USSR-Izvestiya 11 (1977), No. 2, 317–333, . https://doi.org/10.1070/IM1977v011n02ABEH001719
E. Milman, V. Milman, and L. Rotem, Reciprocals and flowers in convexity, Geometric Aspects of Functional Analysis (Eds. B. Klartag and E. Milman), Israel Seminar 2017–2019, II, Lecture Notes in Mathematics 2266, Springer, Cham, 2020, 199–227. https://doi.org/10.1007/978-3-030-46762-3_9
V. Milman, New proof of the theorem of A. Dvoretzky on intersections of convex bodies, Funct. Anal. Appl. 5 (1971), 288–295. https://doi.org/10.1007/BF01086740
V. Milman and L. Rotem, “Irrational” constructions in convex geometry, Algebra i Analiz 29 (2017), 222–236. https://doi.org/10.1090/spmj/1487
V.i Milman and L. Rotem, Powers and logarithms of convex bodies, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 355 (2017), No. 9, 981–986. https://doi.org/10.1016/j.crma.2017.09.002
V. Milman and L. Rotem, Weighted Geometric Means of Convex Bodies, Contemporary Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2019.
C. Saroglou, More on logarithmic sums of convex bodies, Mathematika 62 (2016), 818–841. https://doi.org/10.1112/S0025579316000061
M. Schmuckenschläger. On the dependence on in a theorem of J. Bourgain, J. Lindenstrauss and V.D. Milman, Geometric Aspects of Functional Analysis (Eds. J. Lindenstrauss and V. Milman), Israel Seminar 1989–1990, Lecture Notes in Mathematics, 1469, Springer, Berlin-Heidelberg, 1991, 166–173. https://doi.org/10.1007/BFb0089223
B. Slomka, On duality and endomorphisms of lattices of closed convex sets, Adv. Geom. 11 (2011) No. 2, 225–239. https://doi.org/10.1515/advgeom.2011.003
