Cheng–Yau Logarithmic Gradient Estimates for a Nonlinear Elliptic Equation on Smooth Metric Measure Spaces
Анотація
У цій роботі ми розглядаємо нелінійне еліптичне рівняння $$\Delta_fv^\tau+\lambda v=0$$на повному гладкому метричному просторі з мірою, де $m$-кривина Річчі Бакрі-Емері обмежена знизу, а $\tau>0$ та $\lambda$ є константами. Ми одержуємо нові локальні та глобальні універсальні $\log$-градієнтні оцінки для додатних розв'язків цього рівняння, використовуючи метод ітерацій Неша-Мозера. Як застосування цих оцінок, ми одержуємо теорему типу Ліувілля, нерівність Гарнака та глобальні градієнтні оцінки для таких розв'язків. Наші результати узагальнюють та покращують оцінки, встановлені Вангом (J. Differential Equations 260 (2016), 567--585) та Чжао (Arch. Math. (Basel) 114 (2020), 457-469).
Mathematical Subject Classification 2020: 58J05, 35B45
Ключові слова:
Гладкий метричний простір з мірою, градієнтна оцінка, теорема Ліувілля, нерівність ГарнакаПосилання
J.M. Lee and T.H. Parker, The Yamabe problem, Bull. Amer. Math. Soc. 17 (1987), 37--91. https://doi.org/10.1090/S0273-0979-1987-15514-5
J. Vázquez, The Porous Medium Equation, Oxford Math. Monogr., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, 2007.
R.S. Hamilton, The Ricci flow on surfaces, Mathematics and general relativity, Contemp. Math. 71 (1988), 237--261. https://doi.org/10.1090/conm/071/954419
R. Ye, Global existence and convergence of Yamabe flow, J. Differential Geom. 39 (1994), 35--50. https://doi.org/10.4310/jdg/1214454674
H. Cao and M. Zhu, Aronson-Bénilan estimates for the porous medium equation under the Ricci flow, J. Math. Pures Appl. 104 (2015), 729--748. https://doi.org/10.1016/j.matpur.2015.05.001
X. Fu and J. Wu, Elliptic gradient estimates for a nonlinear equation with Dirichlet boundary condition, J. Geom. Phys. 191 (2023), Paper No. 104887. https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2023.104887
G. Huang, Z. Huang, and H. Li, Gradient estimates for the porous medium equations on Riemannian manifolds, J. Geom. Anal. 23 (2013), 1851--1875. https://doi.org/10.1007/s12220-012-9310-8
G. Huang and B. Ma, Hamilton's gradient estimates of porous medium and fast diffusion equations, Geom. Dedicata 188 (2017), 1--16. https://doi.org/10.1007/s10711-016-0201-1
G. Huang, R. Xu, and F. Zeng, Hamilton's gradient estimates and Liouville theorems for porous medium equations, J. Inequal. Appl. 2016, Paper No. 37. https://doi.org/10.1186/s13660-016-0986-3
X. Jiang and Y. Cheng, Gradient estimate for fast diffusion equations on Riemannian manifolds, J. Math. Anal. Appl. 472 (2019), 1369--1376. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2018.11.080
P. Lu, L. Ni, J.L. Vázquez, and C. Villani, Local Aronson-Bénilan estimates and entropy formulae for porous medium and fast diffusion equations on manifolds, J. Math. Pures Appl. 91 (2009), 1--19. https://doi.org/10.1016/j.matpur.2008.09.001
X. Zhu, Hamilton's gradient estimates and Liouville theorems for porous medium equations on noncompact Riemannian manifolds, J. Math. Anal. Appl. 402 (2013), 201--206. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2013.01.018
X. Zhu, Hamilton's gradient estimates and Liouville theorems for fast diffusion equations on noncompact Riemannian manifolds, Proc. Amer. Math. Soc. 139 (2011), 1637--1644. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2010-10824-9
S.T. Yau, Harmonic functions on complete Riemannian manifolds, Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), 201--228. https://doi.org/10.1002/cpa.3160280203
P. Li and J. Wang, Complete manifolds with positive spectrum, II, J. Differential Geom. 62 (2002), 143--162. https://doi.org/10.4310/jdg/1090425532
L. Wang, Liouville theorems and gradient estimates for a nonlinear elliptic equation, J. Differential Equations, 260 (2016), 567--585. https://doi.org/10.1016/j.jde.2015.09.003
G. Zhao, Gradient estimates of a nonlinear elliptic equation for the $V$-Laplacian, Arch. Math. 114 (2020), 457--469. https://doi.org/10.1007/s00013-019-01419-1
S.Y. Cheng and S.T. Yau, Differential equations on Riemannian manifolds and their geometric applications, Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975), 333--354. https://doi.org/10.1002/cpa.3160280303
J. He, Y. Wang, and G. Wei, Gradient estimate for solutions of the equation $∆_{p} v+av^{q}=0$ on a complete Riemannian manifold, Math. Z. 306 (2024), Paper No. 42. https://doi.org/10.1007/s00209-024-03446-3
J. He, J. Hu, and Y. Wang, Nash-Moser iteration approach to the logarithmic gradient estimates and Liouville properties of quasilinear elliptic equations on manifolds, 2024, https://arxiv.org/abs/2311.02568
G. Huang, Q. Guo, and L. Guo, Gradient estimates for positive weak solution to $∆_{p} u+au^σ=0$ on Riemannian manifolds, J. Math. Anal. Appl. 533 (2024), Paper No. 128007. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2023.128007
X. Wang and L. Zhang, Local gradient estimate for $p$-harmonic functions on Riemannian manifolds, Comm. Anal. Geom. 19 (2011), 759--771. https://doi.org/10.4310/CAG.2011.v19.n4.a4
Y. Wang and G. Wei, On the nonexistence of positive solution to $∆ u+au^{p+1}=0$ on Riemannian manifolds, J. Differential Equations, 362 (2023), 74--87. https://doi.org/10.1016/j.jde.2023.03.001
J. Wang and Y. Wang, Boundedness and gradient estimates for solutions to $∆ u+a(x) u log u+b(x)u=0$ on Riemannian manifolds, J. Differential Equations, 402 (2024), 495--517.
F. Zeng, Gradient estimates and Harnack inequalities of a nonlinear heat equation for the Finsler-Laplacian, J. Math. Phys. Anal. Geom. 17 (2021), 521--548. https://doi.org/10.15407/mag17.04.521
A. Barros and A.K. Silva, Gradient estimate for eigenfunctions of the operator $∆_V$, Differential Geom. Appl. 60 (2018), 147--155. https://doi.org/10.1016/j.difgeo.2018.06.004
N.T. Dung and N.D. Dat, Weighted $p$-harmonic functions and rigidity of smooth metric measure spaces, J. Math. Anal. Appl. 443 (2016), 959--980. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2016.05.065
L. Saloff-Coste, Uniformly elliptic operators on Riemannian manifolds, J. Differential Geom. 36 (1992), 417--450. https://doi.org/10.4310/jdg/1214448748
