Global Weak Solutions of the Navier-Stokes/Fokker-Planck/Poisson Linked Equations
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag10.03.267Анотація
Розглядається початково-крайова задача для системи зв’язних рівнянь Нав’є-Стокса/ Фоккера-Планка/ Пуассона, яка описує течію в’язкої нестисливої рідини з високодисперсною домішкою твердих заряджених частинок, які знаходяться під дією випадкових впливів, обумовлених тепловим рухом молекул рідини. Доведено існування слабких глобальних розв’язків цієї задачі та вивчено їх властивості.
Mathematics Subject Classification: 35A01, 35Q30, 35Q84.
Ключові слова:
рівняння Нав’є-Стокса, рівняння Фоккера-Планка, рівняння Пуассона, глобальний слабкий розв’язок, модифікований метод Гальоркіна, теорема Шаудера про нерухому точку, компактність наближеньПосилання
A.I. Grigor’ev and T.I. Sidorova, Some Laws Governing the Settling and Accumulation of an Industrial Aerosol Over a Region. — Techn. Phys. 43 (1998), No. 3, 283–287.
C.W. Gardiner, Handbook of Stochastic Methods. For Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer–Verlag, Berlin, 1983.
N.G. van Kampen, Stochastic Processes in Physics and Chemistry. North-Holland Publishing Co., Amsterdam–New York, 1981.
K. Hamdache, Global Existence and Large Time Behaviour of Solutions for the Vlasov–Stokes Equations. — Japan J. Indust. Appl. Math. 15 (1998), No. 1, 51–74.
A. Mellet and A. Vasseur, Global Weak Solutions for a Vlasov–Fokker– Planck/Navier–Stokes System of Equations. — Math. Models Methods Appl. Sci. 17 (2007), No. 7, 1039–1063.
O. Anoshchenko, E. Khruslov, and H. Stephan, Global Weak Solutions to the Navier–Stokes–Vlasov–Poisson System. — J. Math. Phys., Anal., Geom. 6 (2010), No. 2, 143–182.
S. Egorov and E.Ya. Khruslov, Global Weak Solutions of the Navier–Stokes–Fokker– Planck System. — Ukrainian Math. J. 65 (2013), No. 2, 212–248.
A.A. Arsenev, Existence in the Large of a Weak Solution of Vlasov’s System of Equations. — Zh. Vycisl. Mat. i Mat. Fiz. 15 (1975), 136–147.
J. Schaeffer, Global Existence of Smooth Solutions to the Vlasov–Poisson System in Three Dimensions. — Comm. Part. Differ. Eqs. 16 (1991), Nos. 8–9, 1313–1335.
P. Degond, Global Existence of Smooth Solutions for the Vlasov–Fokker–Planck Equation in 1 and 2 Space Dimensions. — Ann. Sci. École Norm. Sup. 19 (1986), No. 4, 519–542.
K. Pfaffelmoser, Global Classical Solutions of the Vlasov–Poisson System in Three Dimensions for General Initial Data. — J. Differ. Eqs. 95 (1992), No. 2, 281–303.
R. Alexandre, Weak Solutions of the Vlasov–Poisson Initial-Boundary Value Problem. — Math. Methods Appl. Sci. 16 (1993), No. 8, 587–607.
F. Bouchut, Existence and Uniqueness of a Global Smooth Solution for the Vlasov– Poisson–Fokker–Planck System in Three Dimensions. — J. Funct. Anal. 111 (1993), No. 1, 239–258.
J.A. Carrillo and J. Soler, On the Initial Value Problem for the Vlasov–Poisson– Fokker–Planck System with Initial Data in Lp Spaces. — Math. Methods Appl. Sci. 18 (1995), No. 10, 825–839.
C. Bardos and P. Degond, Global Existence for the Vlasov–Poisson Equation in 3 Space Variables with Small Initial Data. — Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 2 (1985), No. 2, 101–118.
A.I. Košelev, A Priori Estimates in Lp and Generalized Solutions of Elliptic Equations and Systems. — Uspehi Mat. Nauk 13 (1958), No. 4 (82), 29–88.
J.-L. Lions, Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires. Dunod, Gauthier–Villars, Paris, 1969.
O. Anoshchenko, O. Lysenko, and E. Khruslov, On Convergence of Solutions of Singularly Perturbed Boundary-Value Problems. — J. Math. Phys., Anal., Geom. 5 (2009), No. 2, 115–122.
M.A. Krasnoselskii, P.P. Zabreiko, E.I. Pustylnik, and P.E. Sobolevskii, IntegralOperators in Spaces of Summable Functions. Nauka, Moscow, 1966.
