Maxwell-Bloch Equations without Spectral Broadening: Gauge Equivalence, Transformation Operators and Matrix Riemann-Hilbert Problems
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag13.02.119Анотація
Вивчено змiшану початково-крайову задачу для нелiнiйних рiвнянь Максвелла-Блоха без спектрального уширення з використанням методу оберненої задачi розсiяння у формi матричної задачi Рiмана-Гiльберта. З цiєю метою використано оператори перетворення, iснування яких тiсно пов'язане iз задачами Гурса з нетривiальними характеристиками. Для отримання можливостi розв'язання задач Гурса, що виникають, використано калiбрувальнi перетворення, якi дозволяють отримати задачi Гурса канонiчного типу з прямолiнiйними характеристиками, можливiсть розв'язання яких вiдома. Оператори перетворення i калiбрувальнi перетворення дозволяють знайти розв’язки типу Йоста для рiвнянь Абловiца-Каупа-Ньюела-Сегура з добре контрольованою асимптотикою за спектральним параметром поблизу особливих точок. Це призводить до регулярної матричної задачі Рімана-Гільберта, що є добре поставленою в сенсі виконання принципу симетрії Шварца і додатної визначеності матриці стрибка на дійсній осі.
Mathematics Subject Classification: 34L25, 34M50, 35F31, 35Q15, 35Q51.
Ключові слова:
рівняння Максвелла-Блоха, калібрувальні перетворення, оператори перетворення, матричні задачі Рімана-ГільбертаПосилання
M.J. Ablowits, D. Kaup, and A.C. Newell, Coherent Pulse Propagation, a Dispersive, Irreversible Phenomenon. — J. Math. Phys. 15 (1974), 1852–1858. https://doi.org/10.1063/1.1666551
M.J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform. SIAM, Philadelphia, 1981. https://doi.org/10.1137/1.9781611970883
A. Boutet de Monvel and V.P. Kotlyarov, Scattering Problem for the Zakharov– Shabat Equations on the Semi-Axis. — Inverse Problems 16 (2000), 1813–1837. https://doi.org/10.1088/0266-5611/16/6/314
A. Boutet de Monvel and V.P. Kotlyarov, Generation of Asymptotic solitons of the Nonlinear Schrödinger Equation by Boundary Data. — J. Math. Phys. 44 (2003), 3185–3215. https://doi.org/10.1063/1.1588465
A. Boutet de Monvel and V. Kotlyarov, Focusing Nonlinear Schrödinger Equation on the Quarter Plane with Time-Periodic Boundary Condition: a Riemann- Hilbert approach. — J. Institute Mathem. Jussieu 6 (2007), 579–611. https://doi.org/10.1017/S1474748007000151
A. Boutet de Monvel, A.S. Fokas, and D. Shepelsky, Integrable Nonlinear Evolution Equations on a Finite Interval. — Commun. Math. Phys. 263 (2006), 133–172. https://doi.org/10.1007/s00220-005-1495-2
A. Boutet de Monvel and D. Shepelsky, The Camassa-Holm Equation on the HalfLine: a Riemann-Hilbert Approach. — J. Geom. Anal. 18 (2008), 285–323. https://doi.org/10.1007/s12220-008-9014-2
P. Deift, Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann-Hilbert Approach. CIMS NY University, 1999.
L.D. Fadeev and L.A. Takhtadjan, Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons. Springer, Berlin, 1987. https://doi.org/10.1007/978-3-540-69969-9
A.S. Fokas, A Unified Transform Method for Solving Linear and Certain Nonlinear PDEs. — Proc. R. Soc. Lond. A. 453 (1997), 1411–1443. https://doi.org/10.1098/rspa.1997.0077
A.S. Fokas and A.R. Its, The Linearization of the Initial Boundary Value Problem of the Nonlinear Schrödinger Equation. — SIAM J. Math. Anal. 27 (1996), 738–764. https://doi.org/10.1137/0527040
A.S. Fokas and A.R. Its, An Initial Boundary Value Problem for the Korteweg de Vries Equation. — Mathem. Computer Simulat. 37 (1994), 293–321. https://doi.org/10.1016/0378-4754(94)00021-2
A.S. Fokas and A.R. Its, An Initial Boundary Value Problem for the sine-Gordon Equation in laboratory coordinates. — Teor. Mat. Fiz. 92 (1992), 387–403. https://doi.org/10.1007/BF01017074
I.R. Gabitov, A.V. Mikhailov, and V.E. Zakharov, Superfluorescence pulse shape. — JETP Lett. 37 (5) (1983), 279–282.
I.R. Gabitov, A.V. Mikhailov, and V.E. Zakharov,, Nonlinear theory of superflourescence. — Sov. Phys. JETP 59 (4) (1984), 703–709.
I.R. Gabitov, V.E. Zakharov, and A.V. Mikhailov, Maxwell–Bloch Equations and Inverse Scattering Transform Method. — Teor. Mat. Fiz. 63 (1985), 11–31. https://doi.org/10.1007/BF01017833
D.J. Kaup, Coherent Pulse Propagation: a comparison of the Complete Solution with the McCall–Hahn Theory and Others. — Phys. Rev. A 16 (1977), 704–719. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.16.704
O.M. Kiselev, Solution of Goursat Problem for Maxwell–Bloch Equations. — Teor. Mat. Fiz. 98 (1994), 29–37. https://doi.org/10.1007/BF01015119
V.P. Kotlyarov, Complete Linearization of a Mixed Problem to the Maxwell–Bloch Equations by Matrix Riemann–Hilbert Problem. — J. Phys. A: Math. Theor. 46 (2013), 285206. https://doi.org/10.1088/1751-8113/46/28/285206
V.P. Kotlyrov and E.A. Moskovchenko, Matrix Riemann–Hilbert Problems and Maxwell–Bloch Equations without Spectral Broadening. — J. Math. Phys., Anal., Geom. 10 (2014), 328–349.
E.A. Moskovchenko and V.P. Kotlyrov, A new Riemann–Hilbert Problem in a Model of Stimulated Raman Scattering. — J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006), 14591–14610. https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/47/006
G.L. Lamb Jr, Propagation of Ultrashort Optical Pulses. — Phys. Lett. A 25 (1967), 181–182. https://doi.org/10.1016/0375-9601(67)90843-2
G.L. Lamb Jr, Analytical Descriptions to Ultrashort Optical Pulse Propagation in Resonant Media. — Rev. Mod. Phys. 43 (1971), 99–124. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.43.99
G.L. Lamb Jr, Phase Variation in Coherent-Optical-Pulse Propagation. — Phys. Rev. Lett. 31 (1973), 196–199. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.31.196
G.L. Lamb Jr, Coherent-Optical-Pulse Propagation as an Inverse Problem. — Phys. Rev. A 9 (1974), 422–430. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.9.422
G. Litvinchuk and I. Spitkovskii, Factorization of Measurable Matrix Functions. Springer Basel AG, Birkhäuser Basel, 1987. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6266-0
S.V. Manakov, Propagation of Ultrshort Optical Pulse in a Two-Level Laser Amplifier. — Zh. Eksp. Teor. Fiz. 83 (1982), 68–83 (Sov. Phys. JETP 56 (1982), No. 1, 37–44.)
S.V. Manakov and V.Yu. Novokshenov, Complete Asymptotic Representation of Electromagnetic Pulse in a Long Two-Level Amplifier. — Teor. Mat. Fiz. 69 (1986), 40–54. https://doi.org/10.1007/BF01037673
V.E. Zakharov, Propagation of an Amplifying Pulse in a Two-Level Medium. — JETP Lett. 32 (1980), 589–593.
S.M. Zakharov and E.M. Manykin, The Inverse Scattering Formalism in the Theory of Photon (Light) Echo. — Sov. Phys. JETP 55 (2) (1982), 227–231.
X. Zhou, The Riemann–Hilbert Problem and Inverse Scattering. — SIAM J. Math.Anal. 20 (1989), 966–986. https://doi.org/10.1137/0520065
