Matrix Riemann-Hilbert Problems and Maxwell-Bloch Equations without Spectral Broadening
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag10.03.328Анотація
Рівняння Максвелла-Блоха інтенсивно вивчаються багатьма авторами. Основні результати базуються на методі оберненої задачі розсіювання з використанням інтегральних рівнянь Марченка. Проте цей метод виявився неприйнятним для змішаних задач. У даній роботі ми розвиваємо метод, який дозволяє лінеарізувати змішані задачі. Він заснований на одночасному спектральному аналізі обох рівнянь Лакса й матричних задачах Рімана-Гільберта. Ми розглядаємо випадок нескінченно вузької спектральної лінії, тобто без спектрального уширення. Запропоновані матричні задачі Рімана-Гільберта будуть корисні для вивчення часових/просторових асимптотик розв’язків рівнянь Максвелла-Блоха, використовуючи нелінійний метод найшвидшого спуску.
Mathematics Subject Classification: 37K15, 35Q15, 35B40.
Ключові слова:
нелінійне рівняння, задачі Рімана-Гільберта, метод найшвидшого спуску, асимптотикаПосилання
G.L. Lamb Jr., Propagation of Ultrashort Optical Pulses. — Phys. Lett. A 25A (1967), 181–182. https://doi.org/10.1016/0375-9601(67)90843-2
G.L. Lamb Jr., Analytical Ddescriptions to Ultrashort Optical Pulse Propagation in Resonant Media. — Rev. Mod. Phys. 43 (1971), 99–124. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.43.99
G.L. Lamb Jr., Phase Variation in Coherent-optical-pulse Propagation. — Phys. Rev. Lett. 31 (1973), 196–199. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.31.196
G.L. Lamb Jr., Coherent-Optical-Pulse Propagation as an Inverse Problem. — Phys. Rev. A 9 (1974), 422–430. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.9.422
M.J. Ablowits, D. Kaup, and A.C. Newell, Coherent-Pulse Propagation, a Dispersive, Irreversible Phenomenon. — J. Math. Phys. 15 (1974), 1852–1858. https://doi.org/10.1063/1.1666551
I.R. Gabitov, V.E. Zakharov, and A.V. Mikhailov, Maxwell–Bloch Equations and Inverse Scattering Transform Method. — Teor. Mat. Fiz. 63 (1985), 11–31. https://doi.org/10.1007/BF01017833
P. Deift and X. Zhou, A Steepest Descent Method for Oscillatory Riemann–Hilbert Problems. Asymptotics for the MKdV Equation. — Ann. Math. 137/2 (1993), 295– 368. https://doi.org/10.2307/2946540
V.P. Kotlyarov and A.A. Minakov, Step-Initial Function to the MKdV Equation: Hyperelliptic Long-Time Asymptotics of the Solution. — J. Math. Phys., Anal., Geom. 8 (2012), No. 1, 38–62.
M.J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering Transform. SIAM, Philadelphia, 1981. https://doi.org/10.1137/1.9781611970883
S.V. Manakov, Propagation of Ultrshort Optical Pulse in a Two-Level Laser Amplifier. — Zh. Eksp. Teor. Fiz. 83 (1982), 68–83.
S.V. Manakov and V.Yu. Novokshenov, Complete Asymptotic Representation of Electromagnetic Pulse in a Long Two-Level Amplifier. — Teor. Mat. Fiz. 69 (1986), 40–54. https://doi.org/10.1007/BF01037673
O.M. Kiselev, Solution of Goursat Problem for Maxwell–Bloch Equations. — Teor. Mat. Fiz. 98 (1994), 29–37. https://doi.org/10.1007/BF01015119
A.S. Fokas, A Unified Transform Method for Solving Linear and Certain Nonlinear PDEs. — Proc. R. Soc. London, Ser. A 453 (1997), 1411–1443. https://doi.org/10.1098/rspa.1997.0077
A.S. Fokas and A.R. Its, The Linearization of the Initial Boundary Value Problem of the Nonlinear Schrödinger Equation. — SIAM J. Math. Anal. 27 (1996), 738–764. https://doi.org/10.1137/0527040
A.S. Fokas and A.R. Its, An Initial Boundary Value Problem for the Korteweg de Vries Equation. — Mathematics and Computer in Simulation 37 (1994), 293–321. https://doi.org/10.1016/0378-4754(94)00021-2
A.S. Fokas and A.R. Its, An Initial Boundary Value Problem for the sine-Gordon Equation in laboratory coordinates. — Teor. Mat. Fiz. 92 (1992), 387–403. https://doi.org/10.1007/BF01017074
A. Boutet de Monvel and V.P. Kotlyarov, Scattering Problem for the Zakharov– Shabat Equations on the Semi-Axis. — Inverse Probl. 16 (2000), 1813–1837. https://doi.org/10.1088/0266-5611/16/6/314
A. Boutet de Monvel and V.P. Kotlyarov, Generation of Asymptotic Solitons of the Nonlinear Schrödinger Equation by Boundary Data. — J. Math. Phys. 44 (2003), 3185–3215. https://doi.org/10.1063/1.1588465
A. Boutet de Monvel and V. Kotlyarov, Focusing Nonlinear Schrödinger Equation on the Quarter Plane with Time-Periodic Boundary Condition: a Riemann–Hilbert Approach. — Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu 6 (2007), 579–611. https://doi.org/10.1017/S1474748007000151
E.A. Moskovchenko and V.P. Kotlyrov, A New Riemann–Hilbert Problem in a Model of Stimulated Raman Scattering. — J. Phys. A: Math. Gen. 39 (2006), 14591–14610. https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/47/006
L.D. Fadeev and L.A. Takhtadjan, Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons. Springer, Berlin, 1987. https://doi.org/10.1007/978-3-540-69969-9
P. Deift, Orthogonal Polynomials and Random Matrices: A Riemann–Hilbert Approach. CIMS NY University, 1999.
X. Zhou, The Riemann–Hilbert problem and inverse scattering. — SIAM J. Math. Anal. 20 (1989), 966–986. https://doi.org/10.1137/0520065
G. Litvinchuk and I. Spitkovskii, Factorization of Measurable Matrix Functions.Birkh¨auser–Verlag, Basel, 1987. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-6266-0
